Chủ đề này có 4 trả lời

[guongmatkhongquen]

$\frac{1}{2x+y+z+4}+\frac{1}{x+2y+z+4}+\frac{1}{x+y+2z+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
Với $x;y;z$ là ba số thức dương tùy ý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi guongmatkhongquen: 31-07-2015 - 18:27

[Truong Gia Bao]

$\frac{1}{2x+y+z+4}+\frac{1}{x+2y+z+4}+\frac{1}{x+y+2z+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
Với $x;y;z$ là ba số thức dương tùy ý

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a,b>0)$ (c/m dễ dàng bằng cách biến đổi tương đương)

Ta có: 

$\frac{4}{2x+y+z+4}\leq \frac{1}{x+y+2}+\frac{1}{x+z+2}\leq \frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$

Tương tự với 2 phân số còn lại ta suy ra:

$\sum \frac{4}{2x+y+z+4}\leq \sum \frac{1}{x+1}\rightarrow đpcm$

[guongmatkhongquen]

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a,b>0)$ (c/m dễ dàng bằng cách biến đổi tương đương)

Ta có: 

$\frac{4}{2x+y+z+4}\leq \frac{1}{x+y+2}+\frac{1}{x+z+2}\leq \frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$

Tương tự với 2 phân số còn lại ta suy ra:

$\sum \frac{4}{2x+y+z+4}\leq \sum \frac{1}{x+1}\rightarrow đpcm$

$\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
chỗ này làm thế nào ạ,mình hơi ngu tí     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi guongmatkhongquen: 31-07-2015 - 19:17

[Truong Gia Bao]

$\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
chỗ này làm thế nào ạ,mình hơi ngu tí     

Dùng Cauchy cho 2 số dương đó bạn:

$\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}=\frac{1}{4}(2\sqrt{\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}})\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1} \right )$

Tương tự với mấy cái còn lại nhé!

 

 

Tôi không cần biết IQ của bạn cao đến đâu, thấp thế nào? Chỉ cần bạn ham học hỏi thì bạn đáng được tôn trọng.

[Dinh Xuan Hung]

$\frac{1}{2x+y+z+4}+\frac{1}{x+2y+z+4}+\frac{1}{x+y+2z+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
Với $x;y;z$ là ba số thức dương tùy ý

Cách khác:

$\frac{1}{2x+y+z+4}=\frac{1}{(x+1)+(x+1)+(y+1)+(z+1)}\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$

CMTT:$\frac{1}{x+2y+z+4}\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{2}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{x+1} \right )$

$\frac{1}{x+y+2z+4}\leq \frac{1}{16}\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{2}{z+1} \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{2x+y+z+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \sum \frac{1}{x+1} \right )$