1 reply to this topic

[hien2000a]

Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau ở O và không vuông góc với nhau.Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác AOB và COD. Gọi G và I lần lượt là trọng tâm của các tam giác BOC vá AOD.

a) Gọi E là trọng tâm của tam giác AOB, F là giao điểm của AH và DK. Chứng minh rằng các tam giác IEG và HFK đồng dạng.

b) Chứng minh rằng IEG vuông góc với HFK

[Bonjour]

a) Ta thấy $EI=\frac{1}{3}DB;EG=\frac{1}{3}AC$

Suy ra $\frac{EI}{EG}=\frac{BD}{AC}$            $(*)$

Gọi $T= BD\cap AF$ và $\widehat{AFC}=\alpha $

Thì $\widehat{BHT}=\widehat{TFD}=\alpha$

Ta có: $FH=TH+TF=cot\alpha .BT+cot\alpha .TD=cot\alpha .DB$

Tương tự $FK=cot\alpha .AC$

 $\Rightarrow \frac{KF}{FH}=\frac{AC}{BD}$    $(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$

Suy ra $\frac{EG}{EI}=\frac{FK}{FH}=\frac{AC}{DB}$ .Mà $\widehat{AFD}=\widehat{COD}=\widehat{GEI}$

Đpcm

b) Các tam giác $IEG$ và $HFK$ đồng dạng nhau và hai cạnh  của chúng tương ứng vuông góc nên cạnh còn lại cũng vuông với nhau