Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}$.
Chứng minh: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}$.
Bắt đầu bởi O0NgocDuy0O, 01-08-2015 - 08:55
#1
Đã gửi 01-08-2015 - 08:55
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 01-08-2015 - 09:01
Super Fields
-
- Thành viên
-
- 526 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}$.
$$Mincopxki$$ $$\sum \sqrt{a^2+b^2}\geq \sqrt{(\sum a)^2+(\sum b)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$
- O0NgocDuy0O yêu thích
#3
Đã gửi 01-08-2015 - 09:04
Truong Gia Bao
-
- Điều hành viên THPT
-
- 511 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}$.
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}(a,b>0)$
Áp dụng sẽ có: $\sum \sqrt{a^2+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{\sqrt{2}}=\frac{2(a+b+c)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
- O0NgocDuy0O và Hiep Si Lon thích
"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."
#4
Đã gửi 01-08-2015 - 09:17
ngocanhnguyen10
-
- Thành viên
-
- 143 Bài viết
Trung sĩ
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}\geq \sqrt{2}$.
Bình phương hai vế của bpt $\Rightarrow$ Cần chứng minh:
$a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+a^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}+2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+a^{2})}\geq 2$
Áp dụng bđt Bunhia ta có:
$a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+a^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})}+2\sqrt{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+a^{2})}\geq 2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2\sqrt{(ab+bc)^{2}}+2\sqrt{(bc+ac)^{2}}+2\sqrt{(ac+ab)^{2}}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca)=2(a+b+c)^{2}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
- O0NgocDuy0O yêu thích
"Nguyễn Thị Ngọc Ánh"
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
