Chủ đề này có 2 trả lời

[GiaHuy2k]

Bài 1:
Cho tam giác ABC đều.Gọi M là một điểm di động trên cạnh BC.Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC.Tìm vị trí của M để độ dài DE ngắn nhất.

Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC=2AB=2a.Kẻ phân giác trong AD của góc BAC.Chứng minh:
a) D là tâm của một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh AB,AC.
b) Tính bán kính của đường tròn tâm D theo a

[quangnghia]

Bài 1:
Cho tam giác ABC đều.Gọi M là một điểm di động trên cạnh BC.Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB,AC.Tìm vị trí của M để độ dài DE ngắn nhất.

Gọi H, K lần lượt là điểm đối xứng của M qua D, E

Dễ thấy $AH=AM=AK$

Khi đó, AB, AC lần lượt là phân giác $\widehat{HAM}, \widehat{MAK}$

Khi đó $\widehat{HAK}=120^{o}$

$DE^{2}=\frac{1}{4}HK^{2}=\frac{1}{4}(AH^{2}+AK^{2}-2AH.AK.cos120^{o})=\frac{1}{4}(AM^{2}+AM^{2}-2.AM.AM.(-\frac{1}{2}))=\frac{AM^{2}}{4}$

Để DE min thì AM min $\Rightarrow$ M là hình chiếu của A lên BC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnghia: 02-08-2015 - 21:12

[quangnghia]

Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh BC=2AB=2a.Kẻ phân giác trong AD của góc BAC.Chứng minh:
a) D là tâm của một đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh AB,AC.
b) Tính bán kính của đường tròn tâm D theo a

a) Kẻ DM, DN vuông AB, AC 

$\Rightarrow$ AMDN là hình vuông (dễ thấy)

$\Rightarrow$ AB, AC luôn tiếp xúc với đường tròn tâm D bán kính MD

b) $AC=a\sqrt{3}$

Ta có $\frac{BD}{BA}=\frac{DC}{AC}=\frac{BD+DC}{BA+AC}=\frac{2a}{a+a\sqrt{3}}=\frac{2}{1+\sqrt{3}} \Rightarrow BD=\frac{2a}{1+\sqrt{3}}$

Ta có $\frac{BD}{BC}=\frac{MD}{AC}\Rightarrow MD=\frac{BD.AC}{BC}=\frac{\frac{2a}{1+\sqrt{3}}.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3a}}{1+\sqrt{3}}$