Chủ đề này có 1 trả lời

[quan1234]

Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

$(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$.Tìm min và max của biểu thức:

$P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ac)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 02-08-2015 - 21:47

[25 minutes]

Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

$(a+b+c)^2=2(a^2+b^2+c^2)$.Tìm min và max của biểu thức:

$P=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)(ab+bc+ac)}$

Từ giả thiết ta có $4(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$

Khi đó $P=\frac{4(a^3+b^3+c^3)}{(a+b+c)^3}\Rightarrow \frac{P}{4}=\frac{a^3+b^3+c^3}{(a+b+c)^3}$

Đặt $\frac{a}{a+b+c},..=x,...\Rightarrow x+y+z=1, xy+yz+zx=\frac{1}{4}$  (*)

Khi đó cần tìm Min, Max của $\frac{P}{4}=Q=x^3+y^3+z^3=x^3+(y+z)^3-3yz(y+z)$

Ta có $xy+yz+zx=x(y+z)+yz=x(1-x)+yz=\frac{1}{4}\Rightarrow yz=\frac{1}{4}-x(1-x)$

Khi đó $Q=x^3+(1-x)^3-3[\frac{1}{4}-x(1-x)](1-x)=f(x)$

Đến đây khảo sát hàm số, kết hợp (*) để tìm điều kiện của $x$