Chủ đề này có 3 trả lời

[songviae]

Cho x,y,z>1 thoản mãn x+y+z=xyz.Tìm GTNN của $A=\dfrac{y-2}{x^{2}}+\dfrac{z-2}{y^{2}}+\dfrac{x-2}{z^{2}}$

[lethanhson2703]

Xét: $\frac{y-2}{x^2}= \frac{y-1+x-1}{x^2}-\frac{1}{x}= \frac{y-1}{x^2}+ \frac{x-1}{x^2}-\frac{1}{x}$

TT các phân thức còn lại, CTV ta được $A=\sum (x-1)(\frac{1}{x^2}+ \frac{1}{z^2}) -\sum \frac{1}{x}$

$\Leftrightarrow A \ge 2\sum \frac{x-1}{xz} -\sum \frac{1}{x}$

$= 2\sum \frac{1}{z}-2 \sum \frac{1}{xz}- \sum \frac{1}{z}$

$= -(-\sum \frac{1}{z}+ 2\sum \frac{1}{2xz})=\frac{xy+yz+zx}{xyz}- 2 \frac{x+y+z}{xyz} $

$=\sum \frac{1}{z} -2 \frac{x+y+z}{(x+y+z)})$

$= \sum \frac{1}{z}-2 \ge \sqrt{3} -2$

[Ipecstrongs]

Cho x,y,z>1 thoản mãn x+y+z=xyz.Tìm GTNN của $A=\dfrac{y-2}{x^{2}}+\dfrac{z-2}{y^{2}}+\dfrac{x-2}{z^{2}}$

Cách khác:

Do $y>1 \Rightarrow y-1>0$

Ta có: $(y-1)\left ( \frac{1}{x}-\frac{1}{y} \right )^{2}\geq 0\Leftrightarrow (y-1)\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}-\frac{2}{xy} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{y}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{xy}\geq 0$

Tương tự ta cũng nhận được: 

$\frac{x}{z^{2}}+\frac{1}{x}-\frac{2}{z}-\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{xz}\geq 0$

$\frac{z}{y^{2}}+\frac{1}{z}-\frac{2}{y}-\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{yz}\geq 0$

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được:

$\sum \frac{y-2}{x^{2}}-\left ( \sum \frac{1}{x} \right )+2\left ( \sum \frac{1}{xy} \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum \frac{y-2}{x^{2}}\geq \sum \frac{1}{x}-2\geq \sqrt{3}-2$

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})\rightarrow (a,b,c)$ thì $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\frac{c^2(1-a)}{a}+a(1-a)\geqslant 2c(1-a)$

$\frac{a^2(1-b)}{b}+b(1-b)\geqslant 2a(1-b)$

$\frac{b^2(1-c)}{c}+c(1-c)\geqslant 2b(1-c)$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: $(\frac{c^2(1-a)}{a}-c^2)+(\frac{a^2(1-b)}{b}-a^2)+(\frac{b^2(1-c)}{c}-b^2)\geqslant a+b+c-2(ab+bc+ca)\geqslant \sqrt{3(ab+bc+ca)}-2(ab+bc+ca)=\sqrt{3}-2$

hay $\frac{c^2(1-2a)}{a}+\frac{a^2(1-2b)}{b}+\frac{b^2(1-2c)}{c}\geqslant \sqrt{3}-2$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$