Chủ đề này có 11 trả lời

[trungheosocute36]

Bài 1: Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh $\frac{1}{4}\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{2}{9}$

Bài 2: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}$

Bài 3: Cho 3 số x, y, z là các số thực dương.Chứng minh $\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\leq (x+y+z)(\frac{1}{2\sqrt[3]{xyz}})$

Em không chắc đề số 3 cho lắm, nếu sai đề mấy anh chị sửa và làm lại theo đề đúng dùm em ^^

Bài 4:Cho x, y, z là các số thực > 2 và thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1

[phamngochung9a]

Bài 1: Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh $\frac{1}{4}\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{2}{9}$

Bài 2: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}$

Bài 3: Cho 3 số x, y, z là các số thực dương.Chứng minh $\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\leq (x+y+z)(\frac{1}{2\sqrt[3]{xyz}})$

Em không chắc đề số 3 cho lắm, nếu sai đề mấy anh chị sửa và làm lại theo đề đúng dùm em ^^

Bài 4:Cho x, y, z là các số thực > 2 và thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1

Bài 4: 

Đặt $a-2=x$; $b-2=y$; $c-2=z$. Ta có: $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}=1$

Cần cm :$abc\leq 1$

Ta có: $\frac{1}{x+2}=\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{y+2} \right )+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{z+2} \right )=\frac{y}{y+2}+\frac{z}{z+2}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{(y+2)(z+2)}}$

Các BĐT tương tự:

$\frac{1}{y+2}\geq 2\sqrt{\frac{zx}{(z+2)(x+2)}}$

$\frac{1}{z+2}\geq 2\sqrt{\frac{xy}{(x+2)(y+2)}}$

Nhân từng vế suy ra ĐPCM

[phamngochung9a]

Bài 1: Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh $\frac{1}{4}\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{2}{9}$

Bài 2: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}$

Bài 3: Cho 3 số x, y, z là các số thực dương.Chứng minh $\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\leq (x+y+z)(\frac{1}{2\sqrt[3]{xyz}})$

Em không chắc đề số 3 cho lắm, nếu sai đề mấy anh chị sửa và làm lại theo đề đúng dùm em ^^

Bài 4:Cho x, y, z là các số thực > 2 và thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1

Bài 2: 

BĐT cần cm tương đương với:

$a^{3}+b^{3}+7ab(a+b)\geq 8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Leftrightarrow (a+b)^{3}+4ab(a+b)\geq 8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Ta có: $(a+b)^{3}+4ab(a+b)\geq 4\left ( a+b \right )^{2}.\sqrt{ab}=4(a^{2}+b^{2}+2ab)\sqrt{ab}\geq 8\sqrt{2ab(a^{2}+b^{2})}.\sqrt{ab}=8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 06-08-2015 - 15:07

[Hoang Nhat Tuan]

Bài 1: VP trước:

Đặt: $a+b+c=p=1$;$ab+bc+ca=q$;$abc=r$

BĐT trở thành:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+6abc\geq \frac{2}{9}$

$<=>1-3q+6r\geq \frac{2}{9}<=>7+54r\geq 27q$

Sử dụng BĐT Schur thì: $7+54r\geq 7+6p(4q-p^2)=24q+1$

Cần chứng minh $24q+1\geq 27q$

$<=>1\geq 3q$ (Đúng vì $1=p^2\geq 3q$)

[trungheosocute36]

Bài 2: 

BĐT cần cm tương đương với:

$a^{3}+b^{3}+7ab(a+b)\geq 8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Leftrightarrow (a+b)^{3}+4ab(a+b)\geq 8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Ta có: $(a+b)^{3}+4ab(a+b)\geq 4\left ( a+b \right )^{2}.\sqrt{ab}=4(a^{2}+b^{2}+2ab)\sqrt{ab}\geq 8\sqrt{2ab(a^{2}+b^{2})}.\sqrt{ab}=8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Rightarrow Q.E.D$

Q.E.D là gì thế ạ 

[phamngochung9a]

Q.E.D là gì thế ạ 

ĐPCM- điều phải cm ( đoán thế  , thấy trong mấy tài liệu viết nên cũng viết theo   )

[phamquanglam]

Bài 1: VP trước:

Đặt: $a+b+c=p=1$;$ab+bc+ca=q$;$abc=r$

BĐT trở thành:

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+6abc\geq \frac{2}{9}$

$<=>1-3q+6r\geq \frac{2}{9}<=>7+54r\geq 27q$

Sử dụng BĐT Schur thì: $7+54r\geq 7+6p(4q-p^2)=24q+1$

Cần chứng minh $24q+1\geq 27q$

$<=>1\geq 3q$ (Đúng vì $1=p^2\geq 3q$)

Chưa chứng minh xong vế đầu à! 

Ta chứng minh dồn biến. Nhưng trước hết ta có: $1=a+b+c\geq a+a\Rightarrow a\leq \frac{1}{2}\Rightarrow b+c\geq \frac{1}{2}$

ta có: $f_{a,b,c}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

$f_{a,t,t}=a^{3}+2t^{3}+3at^{2}$ với $t=\frac{b+c}{2}$

Xét: $f_{a,b,c}-f_{a,t,t}=b^{3}+c^{3}+3abc-2t^{3}-3at^{2}=b^{3}+c^{3}+3abc-2.\frac{(b+c)^{3}}{8}-3a.\frac{(b+c)^{2}}{4}=\frac{3(b^{3}+c^{3}-bc(b+c))}{4}-\frac{3a(b-c)^{2}}{4}=\frac{3(b+c)(b-c)^{2}}{4}-\frac{3a(b-c)^{2}}{4}=\frac{3}{4}(b-c)^{2}(b+c-a)\geq 0\Rightarrow f_{a,b,c}\geq f_{a,t,t}$

Giờ ta chứng minh: $f_{a,t,t}=2t^{3}+3at^{2}\geq \frac{2}{9}$ với $a+2t=1$

Thay $a=1-2t$ ta có: $-12t^{3}+15t^{2}-6t+1\geq \frac{2}{9}

đúng..............    

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

 

p/s: 

Hoang Nhat Tuan 

vậy là chỉ chứng minh được 1 vế thôi hà         cảm ơn em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 06-08-2015 - 16:16

[Hoang Nhat Tuan]

Chưa chứng minh xong vế đầu à! 

Ta chứng minh dồn biến. Nhưng trước hết ta có: $1=a+b+c\geq a+a\Rightarrow a\leq \frac{1}{2}\Rightarrow b+c\geq \frac{1}{2}$

ta có: $f_{a,b,c}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

$f_{a,t,t}=a^{3}+2t^{3}+3at^{2}$ với $t=\frac{b+c}{2}$

Xét: $f_{a,b,c}-f_{a,t,t}=b^{3}+c^{3}+3abc-2t^{3}-3at^{2}=b^{3}+c^{3}+3abc-2.\frac{(b+c)^{3}}{8}-3a.\frac{(b+c)^{2}}{4}=\frac{3(b^{3}+c^{3}-bc(b+c))}{4}-\frac{3(b-c)^{2}}{4}=\frac{3(b+c)(b-c)^{2}}{4}-\frac{3(b-c)^{2}}{4}=\frac{3}{4}(b-c)^{2}(b+c-1)\leq 0\Rightarrow f_{a,b,c}\leq f_{a,t,t}$

Giờ ta chứng minh: $f_{a,t,t}=2t^{3}+3at^{2}\leq \frac{1}{4}$ với $a+2t=1$

Thay $a=1-2t$ ta có: $-12t^{3}+15t^{2}-6t+1\leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 48t^{3}-60t^{2}+24t-3\geq 0\Leftrightarrow 48(t-\frac{1}{4})(t-\frac{1}{2})^{2}\geq 0$ (luôn đúng do $t=\frac{b+c}{2}\geq \frac{1}{4}$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

À, em biết dồn biến mà nhác quá nên chưa làm, với lại em nghĩ anh dồn sai rồi

$f_(a,b,c)-f_(a,t,t)=\frac{3}{4}(b-c)^2(b+c-a)\geq 0$

 

Bài 1: Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1. Chứng minh $\frac{1}{4}\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \frac{2}{9}$

Bài 2: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}+7(a+b)\geq 8\sqrt{2(a^2+b^2)}$

Bài 3: Cho 3 số x, y, z là các số thực dương.Chứng minh $\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\leq (x+y+z)(\frac{1}{2\sqrt[3]{xyz}})$

Em không chắc đề số 3 cho lắm, nếu sai đề mấy anh chị sửa và làm lại theo đề đúng dùm em ^^

Bài 4:Cho x, y, z là các số thực > 2 và thỏa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh (x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1

Câu 3 sai đề rồi, thay $x=2;y=3;z=4$ thì BĐT sai

Thường thì mấy BĐT không thuần nhất như thế này phải đi kèm điều kiện nữa nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 06-08-2015 - 16:01

[trungheosocute36]

Chưa chứng minh xong vế đầu à! 

Ta chứng minh dồn biến. Nhưng trước hết ta có: $1=a+b+c\geq a+a\Rightarrow a\leq \frac{1}{2}\Rightarrow b+c\geq \frac{1}{2}$

ta có: $f_{a,b,c}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc$

$f_{a,t,t}=a^{3}+2t^{3}+3at^{2}$ với $t=\frac{b+c}{2}$

Xét: $f_{a,b,c}-f_{a,t,t}=b^{3}+c^{3}+3abc-2t^{3}-3at^{2}=b^{3}+c^{3}+3abc-2.\frac{(b+c)^{3}}{8}-3a.\frac{(b+c)^{2}}{4}=\frac{3(b^{3}+c^{3}-bc(b+c))}{4}-\frac{3(b-c)^{2}}{4}=\frac{3(b+c)(b-c)^{2}}{4}-\frac{3(b-c)^{2}}{4}=\frac{3}{4}(b-c)^{2}(b+c-1)\leq 0\Rightarrow f_{a,b,c}\leq f_{a,t,t}$

Giờ ta chứng minh: $f_{a,t,t}=2t^{3}+3at^{2}\leq \frac{1}{4}$ với $a+2t=1$

Thay $a=1-2t$ ta có: $-12t^{3}+15t^{2}-6t+1\leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 48t^{3}-60t^{2}+24t-3\geq 0\Leftrightarrow 48(t-\frac{1}{4})(t-\frac{1}{2})^{2}\geq 0$ (luôn đúng do $t=\frac{b+c}{2}\geq \frac{1}{4}$

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Em mới lớp 9 à,hình như dồn biến là của lớp 12, em chưa học đến 

[bachmahoangtu2003]

Bài 2: 

BĐT cần cm tương đương với:

$a^{3}+b^{3}+7ab(a+b)\geq 8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Leftrightarrow (a+b)^{3}+4ab(a+b)\geq 8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$

Ta có: $(a+b)^{3}+4ab(a+b)\geq 4\left ( a+b \right )^{2}.\sqrt{ab}=4(a^{2}+b^{2}+2ab)\sqrt{ab}\geq 8\sqrt{)}.\sqrt{ab}=8ab\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\Rightarrow Q.E.D$

Cho em hỏi cái khúc $4(a^{2}+b^{2}+2ab)\sqrt{ab}\geq 8\sqrt2ab(a^{2}+b^{2})$ chứng minh sao vậy anh

[CaptainCuong]

Q.E.D là gì thế ạ 

Hình gửi kèm

• 

[phamngochung9a]

Cho em hỏi cái khúc $4(a^{2}+b^{2}+2ab)\sqrt{ab}\geq 8\sqrt2ab(a^{2}+b^{2})$ chứng minh sao vậy anh

$a^{2}+b^{2}+2ab\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2}).2ab}\Rightarrow 4(a^{2}+b^{2}+2ab).\sqrt{ab}\geq 4.2\sqrt{(a^{2}+b^{2}).2ab}.\sqrt{ab}=8\sqrt{2}ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}$