Chủ đề này có 2 trả lời

[quan1234]

CMR $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{a+c})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}$ trong đó a,b,c,k là các số thực dương và $k\geq \frac{2}{3}$

P/s: Nếu được thì chứng minh bằng BĐT Becnuli hoặc bằng phương pháp đạo hàm thì càng tốt.

[Hoang Nhat Tuan]

CMR $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{a+c})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}$ trong đó a,b,c,k là các số thực dương và $k\geq \frac{2}{3}$

P/s: Nếu được thì chứng minh bằng BĐT Becnuli hoặc bằng phương pháp đạo hàm thì càng tốt.

Sử dụng BĐT Holder thì:

$3^{k-1}\left [ (\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{a+c})^k+(\frac{c}{a+b})^k \right ]$

$\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3^k}{2^k}$ (BĐT Nesbit)

Từ đó => ĐPCM

[phamquanglam]

CMR $(\frac{a}{b+c})^k+(\frac{b}{a+c})^k+(\frac{c}{a+b})^k\geq \frac{3}{2^k}$ trong đó a,b,c,k là các số thực dương và $k\geq \frac{2}{3}$

P/s: Nếu được thì chứng minh bằng BĐT Becnuli hoặc bằng phương pháp đạo hàm thì càng tốt.

Ta nhận thấy với $k=1$ thì bất đẳng thức là nesbit $\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$ (chứng minh dễ mà      )

Giờ giả sử bất đẳng thức trên luôn đúng với $n=k$, có nghĩa là ta có: $(\frac{a}{b+c})^{k}+(\frac{b}{a+c})^{k}+(\frac{c}{a+b})^{k}\geq \frac{3}{2^{k}}$

Ta cần chứng minh Bất đẳng thức vẫn đúng với $n=k+1$, có nghĩa là ta phải chứng minh: $(\frac{a}{b+c})^{k+1}+(\frac{b}{a+c})^{k+1}+(\frac{c}{a+b})^{k+1}\geq \frac{3}{2^{k+1}}$

Chứng minh:

Giờ ta chứng minh Bất đẳng thức sau: 

Với $a\geq b\geq c$ và $x\geq y\geq z$ thì luôn có: $ax+by+cz\geq \frac{1}{3}(a+b+c)(x+y+z)$

Thật vậy. sau khi nhân phá ra ta thu được: $\sum (a-b)(x-y)\geq 0$ (luôn đúng)

Áp dụng: Giả sử $a\geq b\geq c$

Nhận thấy: $\frac{a}{b+c}\geq \frac{b}{a+c}\geq \frac{c}{a+b}$

$(\frac{a}{b+c})^{k}\geq (\frac{b}{a+c})^{k}\geq (\frac{c}{a+b})^{k}$

Nên: $(\frac{a}{b+c})^{k+1}+(\frac{b}{a+c})^{k+1}+(\frac{c}{a+b})^{k+1}\geq \frac{1}{3}((\frac{a}{b+c})^{k}+(\frac{b}{a+c})^{k}+(\frac{c}{a+b})^{k})(\sum \frac{a}{b+c})\geq \frac{1}{3}.\frac{3}{2^{k}}.\frac{3}{2}=\frac{3}{2^{k+1}}$ (đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.