Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
#1
Đã gửi 06-08-2015 - 21:08
#2
Đã gửi 06-08-2015 - 22:08
Chuẩn hóa :a+b+c=3.
Nếu $a>\frac{21}{8}$ thì $b+c\leq \frac{3}{8}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}>\frac{a^{2}}{a^{2}+\frac{9}{64}}$
Ta cần cm:$\frac{a^{2}}{a^{2}+\frac{9}{64}}>\frac{3}{5}\Leftrightarrow a^{2}>\frac{27}{128}$ (đúng vìa>21/8)
Nếu a<=21/8
Ta cm:$\frac{a^{2}}{a^{2}+(3-a)^{2}}\geq \frac{1}{5}+\frac{12}{25}(a-1)$
$(a-1)^{2}\frac{63-24a}{25(2a^{2}-6a+9)}\geq 0$ (đúng)
Cộng vế theo vế các bđt tương tự ta được đpcm
- yeudiendanlamlam yêu thích
#3
Đã gửi 06-08-2015 - 22:32
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
Sử dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có :
$\sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+\sum \frac{a^2/25}{a^2}\geq \sum \frac{36a^2/25}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{36}{50}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}\geq \frac{36}{50}-\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$
- yeudiendanlamlam yêu thích
#4
Đã gửi 06-08-2015 - 22:51
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{b^2+(a+c)^2}+\frac{c^2}{c^2+(b+a)^2}\geq \frac{3}{5}$
$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})} \Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq 2(\sum a^{2})(\frac{9}{5\sum a^{2}})-3=\frac{3}{5}$
- yeudiendanlamlam yêu thích
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
#5
Đã gửi 07-08-2015 - 15:26
Sử dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có :
$\sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}+$$\sum \frac{a^2/25}{a^2}$$\geq \sum \frac{36a^2/25}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{36}{50}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}\geq \frac{36}{50}-\frac{3}{25}=\frac{3}{5}$
cho mình hỏi làm sao bạn biết thêm phần tử phụ này vào vậy
#6
Đã gửi 07-08-2015 - 15:33
$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})} \Rightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}} \geq $$2(\sum a^{2})(\frac{9}{5\sum a^{2}})-3$$=\frac{3}{5}$
mình chưa hiểu làm sao suy ra được điều này
#7
Đã gửi 07-08-2015 - 21:51
mình chưa hiểu làm sao suy ra được điều này
Ta có: $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}=\sum \frac{2(\sum a^{2})}{a^{2}+2(b^{2}+c^{2})}-3 \geq 2(\sum a^{2})\frac{9}{\sum [a^{2}+2(b^{2}+c^{2})]}-3=\frac{3}{5}$
BĐT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$
- yeudiendanlamlam yêu thích
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh