Chủ đề này có 1 trả lời

[thichmontoan]

Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

i) $a$ là ước của $b+c+bc$

ii) $b$ là ước của $a+c+ac$

iii) $c$ là ước của $a+b+ab$

CMR $a,b,c$ không thể đồng thời là số nguyên tố

 

[Chung Anh]

Cho ba số nguyên dương $a,b,c$ đôi một khác nhau và đồng thời thỏa mãn các điều kiện:

i) $a$ là ước của $b+c+bc$

ii) $b$ là ước của $a+c+ac$

iii) $c$ là ước của $a+b+ab$

CMR $a,b,c$ không thể đồng thời là số nguyên tố

Giả sử $a,b,c$ đều là số nguyên tố

Vì $a$ là ước của $b+c+bc$ nên $a$ là ước của $a+b+c+ab+ac+bc$

Tương tự $b,c$ cũng là ước của $ab+bc+ca+a+b+c$

Mà $a,b,c$ là các số nguyên tố đôi một khác nhau nên

=>$abc$ là ước của $a+b+c+ab+bc+ca$

=>$a+b+c+ab+bc+ac=m.abc$ ($m$ là số tự nhiên khác 0$)

=>$\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=m $

*Nếu $a,b,c>2$

=>$m\leq \frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{3.7}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}< 1$ (vô lí vì $m$ là số tự nhiên khác 0)

*Nếu có một trong 3 số $a,b,c$ bằng 2.Giả sử $a=2$

=> 2 là ước của một số lẻ $b+bc+c$ (vô lí)

Vậy điều giả sử là sai,ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 10-08-2015 - 08:34