Chủ đề này có 3 trả lời

[anticp2015]

Cho a, b, c$\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh$\sum \frac{ab}{c+2}\leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 08-08-2015 - 14:34
Chú ý cách đặt tiêu đề

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho a, b, c$\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh$\sum \frac{ab}{c+2}\leq \frac{1}{2}$

Sử dụng Bất đẳng thức $\frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ( Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương )

$\sum \frac{ab}{c+2}=\sum \frac{ab}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c})=\frac{1}{4}(a+b+c)=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 08-08-2015 - 14:52

[Nguyen Huy Hoang]

Ta có:

$\frac{ab}{c+2}=\frac{ab}{c+a+b+c}\leq \frac{ab}{4}.\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)$

Tương tự rồi cộng lại ta được đpcm

[Nguyen Huy Hoang]

Sử dụng Bất đẳng thức $\frac{1}{x+y}\color{red}{\geq} \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ( Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương )

$\sum \frac{ab}{c+2}=\sum \frac{ab}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c})=\frac{1}{4}(a+b+c)=2$

Ngược dấu rồi bạn