Cho a, b, c$\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh$\sum \frac{ab}{c+2}\leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 08-08-2015 - 14:34
Chú ý cách đặt tiêu đề
Cho a, b, c$\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh$\sum \frac{ab}{c+2}\leq \frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 08-08-2015 - 14:34
Chú ý cách đặt tiêu đề
Cho a, b, c$\geq 0$ thỏa mãn a+b+c=2. Chứng minh$\sum \frac{ab}{c+2}\leq \frac{1}{2}$
Sử dụng Bất đẳng thức $\frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ( Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương )
$\sum \frac{ab}{c+2}=\sum \frac{ab}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c})=\frac{1}{4}(a+b+c)=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 08-08-2015 - 14:52
Ta có:
$\frac{ab}{c+2}=\frac{ab}{c+a+b+c}\leq \frac{ab}{4}.\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)$
Tương tự rồi cộng lại ta được đpcm
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
Sử dụng Bất đẳng thức $\frac{1}{x+y}\color{red}{\geq} \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ ( Dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương )
$\sum \frac{ab}{c+2}=\sum \frac{ab}{(c+a)+(c+b)}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{c+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ca}{b+a}+\frac{ca}{b+c})=\frac{1}{4}(a+b+c)=2$
Ngược dấu rồi bạn
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh