Chủ đề này có 4 trả lời

[thanhhai352]

Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1.Tìm max của: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}$

[25 minutes]

Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=1.Tìm max của: $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}$

Ta có $P=3-(\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2})\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$

Lại có $a^2+b^2+c^2+3=(a+b+c)^2+ab+bc+ca\leqslant (a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow P\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{4}$

Vậy ta có đcpm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 11-08-2015 - 20:44

[thanhhai352]

a có thể nêu các BDT được áp dụng  trong bài đc ko

[Quoc Tuan Qbdh]

a có thể nêu các BDT được áp dụng  trong bài đc ko

BĐT $Svac$ Ta có $P=3-(\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2})\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$

BĐT $(x+y+z)^{2} \geq 3(xy+yz+zx)$ : $a^2+b^2+c^2+3=(a+b+c)^2+ab+bc+ca\leqslant (a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 13-08-2015 - 16:09

[Silverbullet069]

Ta có $P=3-(\frac{a^2}{1+a^2}+\frac{b^2}{1+b^2}+\frac{c^2}{1+c^2})\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3}$

Lại có $a^2+b^2+c^2+3=(a+b+c)^2+ab+bc+ca\leqslant (a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow P\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{4}$

Vậy ta có đcpt.

Nốt nè, dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \sqrt{\frac{1}{3}}$

Vậy Max P =$\frac{9}{4} \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt{\frac{1}{3}}$