Chủ đề này có 2 trả lời

[shinichikudo201]

1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:

$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$

(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát) 

2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:

$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$

3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.

Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$

4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:

$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.

5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?

6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$

(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:

Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 12-08-2015 - 21:18

[dogsteven]

Những bài toán đều trong cuốn 200 bài toán số học.

[shinichikudo201]

1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:

$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$

(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát) 

2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:

$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$

3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.

Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$

4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:

$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.

5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?

6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$

(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:

Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)

Bài 2: Trước hết ta chứng minh rằng với mọi số lẻ $a\geq 3$, mọi số $n$ nguyên dương và không chia hết cho $a$ ta có:

$(1+a)^{a^{n}}=1+S_{n}.a^n+1$ trong đó $n$ là số nguyên dương và không chia hết cho $a$

Với $n=1$ ta có: $(1+a)^a=1+C_{a}^{1}a+C_{a}^{2}a^2+...+C_{a}^{a}a^a= 1+a^2(1+C_{a}^{2}+C_{a}^{3}a+...)= 1+S_{1}a$

Vì $a$ là số lẻ nên $a\mid C_{a}^{2}$ và do đó $a$ không là ước số của $S_{1}$

Giả sử khẳng định trên đúng cho tới $n$, khi đó với $n+1$ ta có:

$(1+a)^{a^{n+1}}= (1+S_{n}.a^{n+1})^{a}= 1+C_{a}^{1}S_{n}a^{n+1}+C_{a}^{2}{S_{n}}^{2}a^{2n+2}...= 1+a^{n+2}[S_{n}+C_{a}^{2}{S_{n}}^{a}a^n...]= 1+S_{n+1}a^{n+2}$

Vì $S_n$ không chia hết cho $a$ nên $S_{n+1}$ không chia hết cho $a$. Như vậy mệnh đề trên đã được chứng minh theo nguyên lý quy nạp).

Lập luận tương tự ta chứng minh được với mỗi số lẻ $b\geq 3$ và mỗi số nguyên dương $n$ ta có: $(b-1)b^n=-1+t_nb^{n+1}$ với $t_n$ là số nguyên dương không chia hết cho $b$.

Áp cũng kết quả bài trên ta có $k_{max}=1999$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 12-08-2015 - 21:54