Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn,$AB<AC$...Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng
#1
Đã gửi 13-08-2015 - 10:05
#2
Đã gửi 13-08-2015 - 12:40
Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn,$AB<AC$,$AH$ là đường cao và $AD$ là đường phân giác trong. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên các cạnh $AC$ và $AB$, M là giao điểm của $BE$ và $CF$1. Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng.2. Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh $\frac{HB}{HC}=\frac{KB}{KC}$3. Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ với đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.Chứng minh: $\frac{HB}{HC}.\frac{NB}{NC}< 1$
1) Gọi $G,I$ là giao điểm của $HF,HE$ với đường thẳng qua $A$ song song $BC$
Vì $A,E,D,H,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AD$ nên tứ giác $EFHD$ nội tiếp
Ta có: $HA$ là phân giác của $\widehat{FHE}$ và $HA$ vuông $GI$
$\Rightarrow \Delta HGI$ cân tại $H$ .Suy ra $AG=AI$
Đến đây sử dụng $Thales$ và $Ceva$ để chứng minh $AH,BE,CF$ đồng qui
2) Ta có $EFBC.AK$ là tứ giác toàn phần .Nên $(KHBC)=-1$
3)Ta có $AN$ là đường đẳng giác trong góc $A$ ( đối xứng với $AH$ qua $AD$ )
$\Rightarrow \frac{HB.NB}{HC.NC}=\frac{BH}{NC}.\frac{NB}{HC}=\frac{[ABH]}{[ANC]}.\frac{[ABN]}{[AHC]}=\frac{AB.AH}{AN.AC}.\frac{AB.AN}{AH.AC}=(\frac{AB}{AC})^{2}< 1$
- yeudiendanlamlam yêu thích
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
#3
Đã gửi 13-08-2015 - 12:46
cho a, b, c là số thực dương thõa mãn: a+b+c=3. Tìm Max A . A= căn(a+b) + căn(b+c) +căn(c+a)
- yeudiendanlamlam yêu thích
#4
Đã gửi 13-08-2015 - 13:13
1) Gọi $G,I$ là giao điểm của $HF,HE$ với đường thẳng qua $A$ song song $BC$
Vì $A,E,D,H,F$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $AD$ nên tứ giác $EFHD$ nội tiếp
Ta có: $HA$ là phân giác của $\widehat{FHE}$ và $HA$ vuông $GI$
$\Rightarrow \Delta HGI$ cân tại $H$ .Suy ra $AG=AI$
Đến đây sử dụng $Thales$ và $Ceva$ để chứng minh $AH,BE,CF$ đồng qui
2) Ta có $EFBC.AK$ là tứ giác toàn phần .Nên $(KHBC)=-1$
3)Ta có $AN$ là đường đẳng giác trong góc $A$ ( đối xứng với $AH$ qua $AD$ )
$\Rightarrow \frac{HB.NB}{HC.NC}=\frac{BH}{NC}.\frac{NB}{HC}=\frac{[ABH]}{[ANC]}.\frac{[ABN]}{[AHC]}=\frac{AB.AH}{AN.AC}.\frac{AB.AN}{AH.AC}=(\frac{AB}{AC})^{2}< 1$
bạn giải ra cho mình chỗ này được không ,mình chưa tìm ra
#5
Đã gửi 13-08-2015 - 13:27
bạn giải ra cho mình chỗ này được không ,mình chưa tìm ra
Vì $GA=IA$ nên $\frac{AF}{FB}.\frac{HB}{CH}.\frac{EC}{EA}=\frac{GA}{HB}.\frac{HB}{HC}.\frac{HC}{AI}=1$
- yeudiendanlamlam yêu thích
Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh