Chủ đề này có 2 trả lời

[songviae]

Cho a,b,c>0 ; $a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$.CMR: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

[vutienhoang]

$(a^2+2b^2)(\frac{1}{a}+\frac{2}{b})^2\geq (1+2)^3=3c^2(\frac{3}{c})^2$ ( holer)
có a^2+b^2$\leq$ 3c^2 =>$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$
 

[meomunsociu]

$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}$

Mà $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\geq \frac{9}{a+2b}$

(áp dụng bđt cauchy-schwarz)

=>$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{9}{a+2b}$

ta có : $(a+2b)^{2}\leq (a^{2}+2b^{2})(1+2)$ 

(áp dụng bđt bunhia )

=> $(a+2b)^{2}\leq 9c^{2}$ (do $a^{2}+2b^{2}\leq 3$$c^{2}$)

=>$0\leq a+2b\leq 3c$

=> $\frac{9}{a+2b}\geq \frac{3}{c}$

=> $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$

Dấu ''='' xảy ra <=> a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomunsociu: 14-08-2015 - 10:35