Chủ đề này có 18 trả lời

[bachmahoangtu2003]

Bài 1: Cho a,b,c>0

Chứng minh $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$

Bài 2: Cho biểu thức 

M=$\sqrt{a+3-4\sqrt{a-1}}+\sqrt{a+15-8\sqrt{a-1}}$. Tìm Min của M

Bài 3: a, b, c>0. Chứng minh:

$\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac}\geq a+b+c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachmahoangtu2003: 14-08-2015 - 14:25

[Silverbullet069]

Bài 1: Cho a,b,c>0

Chứng minh $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$

Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM), ta có :

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c} + bc \geq 3ab$

$\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} + ac \geq 3bc$

$\frac{a^3}{b}+\frac{c^3}{a} + ab \geq 3ac$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c} + bc + \frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} + ac + \frac{a^3}{b}+\frac{c^3}{a} + ab \geq 3(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow 2.(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}) + ab + bc + ac \geq 3(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow 2.(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}) \geq 2(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \geq ab+bc+ca$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 14-08-2015 - 13:56

[Silverbullet069]

Bài 3: a, b, c>0. Chứng minh:

$\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac}\geq a+b+c$

Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM), ta có :

$a^3+b^3 \geq ab(a + b)$

$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{2ab} \geq \frac{a + b}{2}$

$b^3+c^3 \geq bc(b + c)$

$\Rightarrow \frac{b^3+c^3}{2bc} \geq \frac{b + c}{2}$

$c^3+a^3 \geq ac(a + c)$

$\Rightarrow \frac{c^3+a^3}{2ac} \geq \frac{a + c}{2}$

Cộng vế với vế, ta có :

$\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac} \geq \frac{2(a + b+c)}{2} = a + b + c$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Nguồn : vn.answers.yahoo.com

[Silverbullet069]

Bài 2: Cho biểu thức 

M=$\sqrt{a+3-4\sqrt{a-1}}+\sqrt{a+15-8\sqrt{a-1}}$. Tìm Min của M

M=$\sqrt{a+3-4\sqrt{a-1}}+\sqrt{a+15-8\sqrt{a-1}}$

Ta có :

$\sqrt{a+3-4\sqrt{a-1}} = \sqrt{a - 1 + 4 - 4\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1})^2 - 2.\sqrt{a-1}.2 + 2^2} = \sqrt{(\sqrt{a-1} - 2)^2} = \sqrt{a-1} - 2$

$\sqrt{a+15-8\sqrt{a-1}} = \sqrt{a - 1 + 16 - 8\sqrt{a-1}} = \sqrt{(\sqrt{a-1})^2 - 2.\sqrt{a-1}.4 + 4^2} = \sqrt{(\sqrt{a-1}- 4)^2} = \sqrt{a-1}- 4$

Ta có ĐKXĐ : $\sqrt{a-1} \geq 4$

$\Rightarrow M=\sqrt{a+3-4\sqrt{a-1}}+\sqrt{a+15-8\sqrt{a-1}} = \sqrt{a-1} - 2 + \sqrt{a-1}- 4 = 2.\sqrt{a - 1} - 6 \geq 2$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{a-1} = 4 \Leftrightarrow a = 17$

Vậy Min M = 2 $\Leftrightarrow a = 17$

KLQ : 3 bài này chẳng có gì khó hết.

Đã sửa xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 14-08-2015 - 15:36

[Dinh Xuan Hung]

Bài 1: Cho a,b,c>0

Chứng minh $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca$

 

Cách khác:$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac$

 

ĐÃ FIX

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 14-08-2015 - 14:49

[bachmahoangtu2003]

Cách khác:$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^3}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac$

$b^4$ anh ơi 

[Boruto]

kỹ thuật sử dụng bdt cauchy-shwar dạng engel này rất hay nè     

[bachmahoangtu2003]

Cách khác:$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{ab+bc+ac}=ab+bc+ac$

 

ĐÃ FIX

Em hỏi ngu một chút là tại sao $(a^2+b^2+c^2)^2\geq (ab+bc+ac)^2$  Em xin lỗi vì em vẫn chưa quen sử dụng mấy cái Bđt này 

[Silverbullet069]

Em hỏi ngu một chút là tại sao $(a^2+b^2+c^2)^2\geq (ab+bc+ac)^2$  Em xin lỗi vì em vẫn chưa quen sử dụng mấy cái Bđt này 

Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM), ta có :

$a^2+b^2 \geq 2ab$

$b^2+c^2 \geq 2bc$

$a^2+c^2 \geq 2ac$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab + bc + ac$

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2 \geq (ab + bc + ac)^2$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

[bachmahoangtu2003]

Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM), ta có :

$a^2+b^2 \geq 2ab$

$b^2+c^2 \geq 2bc$

$a^2+c^2 \geq 2ac$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq ab + bc + ac$

$\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2 \geq (ab + bc + ac)^2$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Vậy lúc mình làm bài có cần phải chứng minh lại k hay là áp dụng vô lun vậy anh ?.?

[bachmahoangtu2003]

Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM), ta có :

$a^3+b^3 \geq ab(a + b)$

$\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{2ab} \geq \frac{a + b}{2}$

$b^3+c^3 \geq bc(b + c)$

$\Rightarrow \frac{b^3+c^3}{2bc} \geq \frac{b + c}{2}$

$c^3+a^3 \geq ac(a + c)$

$\Rightarrow \frac{c^3+a^3}{2ac} \geq \frac{a + c}{2}$

Cộng vế với vế, ta có :

$\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ac} \geq \frac{2(a + b+c)}{2} = a + b + c$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Nguồn : vn.answers.yahoo.com

Một câu hỏi nữa là $a^3+b^3 \geq ab(a + b)$   

[Silverbullet069]

Một câu hỏi nữa là $a^3+b^3 \geq ab(a + b)$   

Ta có : $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM), ta có :

$a^2 + b^2 \geq 2ab$

$\Rightarrow (a + b)(a^2 + b^2 - ab) \geq (a + b)(2ab - ab) = (a + b)ab$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b$

 

Vậy lúc mình làm bài có cần phải chứng minh lại k hay là áp dụng vô lun vậy anh ?

Phải c/m bạn ạ, nếu không sẽ bị trừ điểm đấy.

Đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 14-08-2015 - 21:43

[Dinh Xuan Hung]

Vậy lúc mình làm bài có cần phải chứng minh lại k hay là áp dụng vô lun vậy anh ?.?

 

 

Được áp dụng luôn nhé bạn.

Ai bảo được áp dụng luôn phải chứng minh lại mà đó chỉ là BT phụ mình chỉ được sử dụng khi đã CM không thì bạn sẽ bị trừ điểm đấy

[Silverbullet069]

Ai bảo được áp dụng luôn phải chứng minh lại mà đó chỉ là BT phụ mình chỉ được sử dụng khi đã CM không thì bạn sẽ bị trừ điểm đấy

Chết em nói nhầm, bất kì BĐT nào cũng phải c/m, dù chính hay phụ.

[Dinh Xuan Hung]

Chết em nói nhầm, bất kì BĐT nào cũng phải c/m, dù chính hay phụ.

Chúng ta được sử dụng luôn BĐT $AM-GM$ và $C-S$ đó chính là hai dạng được quyền sử dụng luôn không phải chứng minh còn mọi BĐT khi sử dụng là phải chứng minh

[CaptainCuong]

Áp dụng BĐT Cô-si (AM-GM), ta có :

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c} + bc \geq 3ab$

$\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} + ac \geq 3bc$

$\frac{a^3}{b}+\frac{c^3}{a} + ab \geq 3ac$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c} + bc + \frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} + ac + \frac{a^3}{b}+\frac{c^3}{a} + ab \geq 3(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow 2.(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}) + ab + bc + ac \geq 3(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow 2.(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}) \geq 2(ab + bc + ac)$

$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a} \geq ab+bc+ca$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Bạn có thể chứng minh BĐT Cauchy cho 3 số được không 

[Silverbullet069]

Bạn có thể chứng minh BĐT Cauchy cho 3 số được không ?

Hiểu rồi, áp dụng BĐT Cauchy, ta có :

$\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + bc \geq 3.\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}.\frac{b^3}{c}.bc} = 3.\sqrt[3]{(ab)^3} = 3ab$

Các câu khác tương tự nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 16-08-2015 - 12:31

[anhtukhon1]

Đây nhé bạn

http://violet.vn/ngu...ntry_id/7072251

[hoangyenmn9a]

có :$\frac{a^3+b^3}{2ab}\geqslant \frac{ab(a+b)}{2ab}=\frac{a+b}{2}$...chứng minh tương tự được $\frac{b^3+c^3}{2bc}\geqslant \frac{b+c}{2}$ $\inline \frac{c^3+a^3}{2ca}\geqslant \frac{c+a}{2}$cộng lại được ĐPCM