Chủ đề này có 5 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1 :Cho $x,y$ thỏa $x,y \in \left [ 1;2 \right ].$ Tìm GTNN : $$P=\frac{x+2y}{x^2+3y+5}+\frac{y+2x}{y^2+3x+5}+\frac{1}{4(x+y-1)}$$ 

Bài 2: Cho $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$ thỏa $xyz=(1-x)(1-y)(1-z).$ Tìm GTNN $$P=x^2+y^2+z^2$$

Bài 3:Cho $a,b,c \in \left [ \frac{1}{2};1 \right].$ Tìm GTNN $$M=\frac{a+b}{1+c}+\frac{b+c}{1+a}+\frac{a+c}{1+b}$$

[phamquanglam]

Nói riêng với

caybutbixanh

nè...........mình thấy mấy bài như thế này đặc biệt hay và quan trọng nữa vì nó còn liên quan đến đề thi đại học.....có thể thì mong bạn cố đăng nhiều bài như thế này nữa......

Giờ mình mới chỉ nghĩ ra được bài 1 thôi.

 

Bài 1 :Cho $x,y$ thỏa $x,y \in \left [ 1;2 \right ].$ Tìm GTNN : $$P=\frac{x+2y}{x^2+3y+5}+\frac{y+2x}{y^2+3x+5}+\frac{1}{4(x+y-1)}$$ 

 

Ta có: $(x-1)(2-x)\geq 0\Leftrightarrow 3x-2\geq x^{2}$

Nên: $\frac{x+2y}{x^{2}+3y+5}\geq \frac{x+2y}{3x+3y+3}$

CMTT: $\frac{y+2x}{y^{2}+3x+5}\geq \frac{y+2x}{3x+3y+3}$

Nên: $\frac{x+2y}{x^{2}+3y+5}+\frac{y+2x}{y^{2}+3x+5}\geq \frac{3x+3y}{3x+3y+3}=\frac{x+y}{x+y+1}$

Ta phải tìm min của: $P\geq \frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4(x+y)-4}$

Đặt $t=x+y$ $\Rightarrow 2\leq t\leq 4$

Ta có $P=f_{t}=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4}$

$\Rightarrow f'_{t}=(\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4t-4})'=(\frac{4t^{2}-3t+1}{4t^{2}-4})'=\frac{12t^{2}-40t+12}{(4t^{2}-4)^{2}}$

$f_{t}=0\Rightarrow t=3$

Vẽ bảng biến thiên ta nhận thấy $f_{t}\geq \frac{7}{8}$ với $t=3$

Vậy $P$ min bằng $\frac{7}{8}$ với $(x;y)=(1;2);(2;1)$

[caybutbixanh]

Phamquanglam : Cám ơn bạn đã quan tâm, mình cũng vừa mới ra câu này :

 

Bài 3:Cho $a,b,c \in \left [ \frac{1}{2};1 \right].$ Tìm GTNN $$M=\frac{a+b}{1+c}+\frac{b+c}{1+a}+\frac{a+c}{1+b}$$

Lời giải :

Vì mẫu rắc rối, ta làm như sau :

Đặt $x=1+a;y=1+a;z=1+b \Rightarrow  x,y,z \in \left [ \frac{3}{2};6 \right ]$

Khi đó :

$M=\frac{y+z-2}{x}+\frac{x+z-2}{y}+\frac{x+y-2}{z}= (\frac{y+z}{x}+1)+(\frac{x+z}{y}+1)+(\frac{x+y}{z}+1)-2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-3\\$

$=(x+y+z-2)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-3\geq (x+y+z-2).\frac{9}{x+y+z}-3=(t-2).\frac{9}{t}-3=6-\frac{18}{t}=f(t)$

Với $t=x+y+z,$ dễ dàng có $t \in \left[ \frac{9}{2};6 \right ]$

$f'(t)=\frac{18}{t^2} > 0 , \forall t \in \left[ \frac{9}{2};6 \right ]\Rightarrow f(t) \geq f(\frac{9}{2})=2 ;$

Vây $min M =2 $ khi $x=y=z=\frac{9}{2}$ tức $a=b=c=\frac{3}{2}$

-----------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 26-08-2015 - 23:45

[caybutbixanh]

Bài còn lại :

 

Bài 2: Cho $x,y,z \in \left [ 0;1 \right ]$ thỏa $xyz=(1-x)(1-y)(1-z).$ Tìm GTNN $$P=x^2+y^2+z^2$$

 

Lời giải :

Từ giả thiết, ta có : $xy+yz+xz=2xyz+(x+y+z)-1$...Rút như vậy để quy P về ẩn $t=x+y+z$ như sau :

$P=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2-2(2xyz+(x+y+z)-1)=(x+y+z)^2-2(x+y+z)+2-4xyz\leq (x+y+z)^2-2(x+y+z)+2-\frac{4}{27}.(x+y+z)^3=\frac{-4}{27}.t^3+t^2-2t+2=f(t)$

Dễ có $t \in \left[0;3 \right]$. Ta có :$f'(t)=\frac{-4}{9}t^2+2t-2;f'(t)=0\Leftrightarrow t=3 ;t=\frac{3}{2}$

Đến đây ngoài cách lập bảng biến thiên, ta có thể tính các giá trị $f(0);f(3);f(3/2)$ và dễ dàng đi đến kết luận :

$min P=\frac{3}{4}$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

---------------------------------------------------

[Pino]

Một bài mới: Cho a,b,c là các số  thực thoả mãn $a^2+b^2+7c^2=9$. Tìm GTNN của biểu thức:

                                                       $\mathbb F= ac+2bc+c^2$

[phamquanglam]

Đăng bài mới cho mọi người cùng làm       

Cho: $0\leq a\leq b\leq c$ thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Tìm Max của $P=3abc-2014a-b-c$