Chủ đề này có 3 trả lời

[khanghaxuan]

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 

$a^{3}+b^{3}=3^{c}$

[Chris yang]

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau : 

$a^{3}+b^{3}=3^{c}$

Bài này giải đơn giản như sau:

Từ đk suy ra $(a+b)(a^2-ab+b^2)=3^c$ nên tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho $a+b=3^m, a^2-ab+b^2=3^n$. Khi đó $ab=3^{n-1}(3^{2m-n}-1)$

 

Đặt $a=3^k.t,b=3^v.r$ ( $t,r$ nt cùng nhau với $3$), giả sử $k\geq v$ thì $3^v(3^{k-v}t+r)=3^m$ nên dễ dàng suy ra $k=v$. Khi đó ta có:

$\left\{\begin{matrix} t+r=3^{m-2k}=3^{n-1} & \\ tr=3^{2m-n}-1 & \end{matrix}\right.\Rightarrow (t+r)^2=3+3tr\Rightarrow t^2+r^2=3+tr\geq 2tr\Rightarrow tr\leq 3$

Khi đó, ta tìm đc $(t,r)=(2,1)$ và hoán vị

Do đó $(a,b)=(2.3^k,3^k)$ (có hoán vị) và $c=3k+2$ với $k$ là STN

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 18-08-2015 - 18:31

[khanghaxuan]

Bài này giải đơn giản như sau:

Từ đk suy ra $(a+b)(a^2-ab+b^2)=3^c$ nên tồn tại $m,n\in\mathbb{N}$ sao cho $a+b=3^m, a^2-ab+b^2=3^n$. Khi đó $ab=3^{2m-n-1}$

Xét $a$ hoặc $b=1$ ( giả sử $a=1$) thì $b=3^{2m-n-1}=3^m-1$ nên hoặc $m=0$ hoặc $2m-n-1=0$. Thế vào có thể dễ dàng tìm $m,n$....

Nếu $a$ và $b$ không chứa $1$ thì $a=3^x,b=3^y$ ($x+y=2^m-n-1$) . Giả sử $x\geq y$ thì $3^y(3^{x-y}+1)=3^m$ ( vô lý)...

Phương trình trên có vô số nghiệm là bộ : $(a;b;c)=(3^{k};2.3^{k};3k+2)$ với $k\in N$

[Chris yang]

Phương trình trên có vô số nghiệm là bộ : $(a;b;c)=(3^{k};2.3^{k};3k+2)$ với $k\in N$

Oh, xin lỗi bạn vì lỗi biến đổi sai nghiêm trọng, mình đã sửa lại.