Chủ đề này có 6 trả lời

[quynhquynh]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1. CMR: \[\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\]

 

[gianglqd]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1. CMR: \[\frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}\leq 2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )\]

VT =$VT=\sum \frac{2a+b+c}{b+c}=\sum \frac{2a}{b+c}+3$

Đpcm $\Leftrightarrow \sum \frac{b}{a}-\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{c}-\frac{a}{b+c})\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

$VT\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc$

$\Leftrightarrow \sum (ab)^{2}+2\sum ab^{2}c\geq 3abc$

$VT\geq 3\sum ab^{2}c$

đpcm $\Leftrightarrow \sum ab^{2}c\geq abc$

$\Leftrightarrow abc(a+c)+abc(b-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc(c+a)-abc(1-b)= 0\geq 0$ (đúng)

Suy ra đpcm

Không biết có sai chỗ nào không

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gianglqd: 17-08-2015 - 19:37

[quynhquynh]

VT =$VT=\sum \frac{2a+b+c}{b+c}=\sum \frac{2a}{b+c}+3$

Đpcm $\Leftrightarrow \sum \frac{b}{a}-\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{c}-\frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{ab}{c(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

$VT\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc$

$\Leftrightarrow \sum (ab)^{2}+2\sum ab^{2}c\geq 3abc$

$VT\geq 3\sum ab^{2}c$

đpcm $\Leftrightarrow \sum ab^{2}c\geq abc$

$\Leftrightarrow abc(a+c)+abc(b-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow abc(c+a)-abc(1-b)= 0\geq 0$ (đúng)

Suy ra đpcm

Không biết có sai chỗ nào không

chỗ này là sao v a?

[quan1234]

chỗ này là sao v a?

Đoạn đấy nhân cả tử và mẫu với ab rồi áp dụng BĐT C-S

[gianglqd]

chỗ này là sao v a?

Trừ từng cái rối nhân cả tử và mẫu với ab rồi xài C-S

[Nguyenhuyen_AG]

Tương tự như gianglqd ta đưa bài toán về dạng đồng bậc

\[\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \geqslant \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}.\]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, thì

\[\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca},\]

do đó ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} \geqslant \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b},\]

hay

\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant (ab+bc+ca)\left (\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right).\]

Vì \[\frac{a(ab+bc+ca)}{b+c} = \frac{a[bc+a(b+c)]}{b+c} = \frac{abc}{b+c}+a^2,\] nên ta có thể thu gọn bất đẳng thức trên thành

\[\frac{ab+bc+ca}{2} \geqslant abc \left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right),\]

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}.\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bài toán được chứng minh.

 

P/s. Từ chứng minh này ta thấy

\[2 \min \left \{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right \} \geqslant \frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 18-08-2015 - 18:29

[gianglqd]

Tương tự như gianglqd ta đưa bài toán về dạng đồng bậc

\[\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \geqslant \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}.\]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, thì

\[\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \geqslant \frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca},\]

do đó ta chỉ cần chứng minh

\[\frac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} \geqslant \frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b},\]

hay

\[(ab+bc+ca)^2 \geqslant (ab+bc+ca)\left (\frac{3}{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right).\]

Vì \[\frac{a(ab+bc+ca)}{b+c} = \frac{a[bc+a(b+c)]}{b+c} = \frac{abc}{b+c}+a^2,\] nên ta có thể thu gọn bất đẳng thức trên thành

\[\frac{ab+bc+ca}{2} \geqslant abc \left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right),\]

\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}.\]

Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bài toán được chứng minh.

 

P/s. Từ chứng minh này ta thấy

\[2 \min \left \{ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right \} \geqslant \frac{1+a}{1-a}+\frac{1+b}{1-b}+\frac{1+c}{1-c}.\]

Phần màu đỏ là sao vậy bạn