Chủ đề này có 7 trả lời

[thichmontoan]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$

CMR: $\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}\geq 1$

[hoctrocuaHolmes]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$

CMR: $\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}\geq 1$

Áp dụng AM-GM ta có $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq 1$$\Rightarrow xy^{2}\leq \frac{y}{z}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có 

$\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}\geq \frac{1}{\frac{2y}{z}+1}+\frac{1}{\frac{2z}{x}+1}+\frac{1}{\frac{2x}{y}+1}$

Đặt $\frac{y}{z}=a;\frac{z}{x}=b;\frac{x}{y}=c$ suy ra $abc=1$ ,do đó ta cần cm 

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$ $(*)$

Lại có $(2a+1)(2b+1)+(2b+1)(2c+1)+(2a+1)(2c+1)=4(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+3$

và $(2a+1)(2b+1)(2c+1)=4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+8abc+1$

Do đó $(*)\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+3\geq 4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+8abc+1\Leftrightarrow 2(a+b+c)+2\geq 8abc\Leftrightarrow a+b+c+1\geq 4abc$

$\Leftrightarrow a+b+c+1\geq 4\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$ (đúng theo AM-GM $a+b+c=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$)

Vậy bất đẳng thức đã cho được cm

Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

[81NMT23]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$

CMR: $\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}\geq 1$

lấy 3 trừ đi 2 vế ta có phép biến đổi tương đương:

$\frac{2xy^2}{2xy^2+1}+\frac{2yz^2}{2yz^2+1}+\frac{2zx^2}{2zx^2+1}\leq 2$

$\Leftrightarrow \frac{xy^2}{2xy^2+1}+\frac{yz^2}{2yz^2+1}+\frac{zx^2}{2zx^2+1}\leq 1$

Sử dụng BĐT Cauchy 3 số:

$\Leftrightarrow \frac{xy^2}{3\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}}+\frac{yz^2}{3\sqrt[3]{y^{2}z^{4}}}+\frac{zx^2}{3\sqrt[3]{z^{2}x^{4}}}\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt[3]{zx^{2}}+\sqrt[3]{xy^{2}}+\sqrt[3]{yz^{2}}}{3}\leq 1$

Điều này đúng do $\frac{\sqrt[3]{zx^{2}}+\sqrt[3]{xy^{2}}+\sqrt[3]{yz^{2}}}{3}\leq \frac{x+y+z}{3}=1$

Suy ra đpcm 

Dấu  = xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 17-08-2015 - 20:40

[AnhTam97]

Áp dụng AM-GM ta có $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow 3\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq 1$$\Rightarrow xy^{2}\leq \frac{y}{z}$

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự ta có 

$\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}\geq \frac{1}{\frac{2y}{z}+1}+\frac{1}{\frac{2z}{x}+1}+\frac{1}{\frac{2x}{y}+1}$

Đặt $\frac{y}{z}=a;\frac{z}{x}=b;\frac{x}{y}=c$ suy ra $abc=1$ ,do đó ta cần cm 

$\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\geq 1$ $(*)$

Lại có $(2a+1)(2b+1)+(2b+1)(2c+1)+(2a+1)(2c+1)=4(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+3$

và $(2a+1)(2b+1)(2c+1)=4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+8abc+1$

Do đó $(*)\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+3\geq 4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)+8abc+1\Leftrightarrow 2(a+b+c)+2\geq 8abc\Leftrightarrow a+b+c+1\geq 4abc$

$\Leftrightarrow a+b+c+1\geq 4\Leftrightarrow a+b+c\geq 3$ (đúng theo AM-GM $a+b+c=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$)

Vậy bất đẳng thức đã cho được cm

Dấu''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

cách này sẽ hay hơn 

$\frac{1}{2xy^{2}+1}+\frac{1}{2yz^{2}+1}+\frac{1}{2zx^{2}+1}\geqslant \frac{1}{2\frac{y}{z}+1}+\frac{1}{2\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{2\frac{x}{y}+1}=\frac{z^{2}}{2zy+z^{2}}+\frac{x^{2}}{2zx+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2xy+y^{2}}\geqslant \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{x^{2}+y^{2}+x^{2}+2xy+2yz+2xy}=\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{\left ( x+y+z \right )^{2}}=1$

[CaptainCuong]

cách này sẽ hay hơn 

$\frac{1}{2xy^{2}+1}+\frac{1}{2yz^{2}+1}+\frac{1}{2zx^{2}+1}\geqslant \frac{1}{2\frac{y}{z}+1}+\frac{1}{2\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{2\frac{x}{y}+1}=\frac{z^{2}}{2zy+z^{2}}+\frac{x^{2}}{2zx+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2xy+y^{2}}\geqslant \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{x^{2}+y^{2}+x^{2}+2xy+2yz+2xy}=\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{\left ( x+y+z \right )^{2}}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 18-08-2015 - 22:31

[CaptainCuong]

 

cách này sẽ hay hơn 

$\frac{1}{2xy^{2}+1}+\frac{1}{2yz^{2}+1}+\frac{1}{2zx^{2}+1}\geqslant \frac{1}{2\frac{y}{z}+1}+\frac{1}{2\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{2\frac{x}{y}+1}=\frac{z^{2}}{2zy+z^{2}}+\frac{x^{2}}{2zx+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2xy+y^{2}}\geqslant \frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{x^{2}+y^{2}+x^{2}+2xy+2yz+2xy}=\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}}{\left ( x+y+z \right )^{2}}=1$

 

Chỗ này là sao vậy bạn:$\frac{1}{2xy^{2}+1}+\frac{1}{2yx^{2}+1}+\frac{1}{2zx^{2}+1}\geq \frac{1}{2\frac{y}{z}+1}+\frac{1}{2\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{2\frac{x}{y}+1}$

[thichmontoan]

Chỗ này là sao vậy bạn:$\frac{1}{2xy^{2}+1}+\frac{1}{2yx^{2}+1}+\frac{1}{2zx^{2}+1}\geq \frac{1}{2\frac{y}{z}+1}+\frac{1}{2\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{2\frac{x}{y}+1}$

Chắc bạn ấy tưởng $xyz=1$

[AnhTam97]

Chắc bạn ấy tưởng $xyz=1$

 

Chỗ này là sao vậy bạn:$\frac{1}{2xy^{2}+1}+\frac{1}{2yx^{2}+1}+\frac{1}{2zx^{2}+1}\geq \frac{1}{2\frac{y}{z}+1}+\frac{1}{2\frac{z}{x}+1}+\frac{1}{2\frac{x}{y}+1}$

Bạn đọc bài Votruc chưa !!!