Chủ đề này có 3 trả lời

[thichmontoan]

1.Cho $x>1$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{x^4+1}{x(x-1)(x+1)}$

2. Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=a^2+b^2+c^2$

[Minhnguyenthe333]

1.Cho $x>1$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$A=\frac{x^4+1}{x(x-1)(x+1)}$
2. Cho $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=a^2+b^2+c^2$

2.Từ giả thiết ta có: $(a-2)(b-2)(c-2)-abc\leq 0\Leftrightarrow 4\leq 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 9-4=5$
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(2,1,0)$ và hoán vị

[Quoc Tuan Qbdh]

1.Cho $x>1$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{x^4+1}{x(x-1)(x+1)}$

 

Ta có :

$A=\frac{x^{4}+1}{x(x^{2}-1)}=\frac{(x^{2}-1)^{2}}{x(x^{2}-1)}+\frac{2x^{2}}{x(x^{2}-1)}=\frac{x^{2}-1}{x}+\frac{2x}{x^{2}-1}\geq 2\sqrt{2}(AM-GM)$

Dấu bằng xảy ra khi $2x^{2}=x^{4}-2x^{2}+1-->x^{2}=2+\sqrt{3}-->x=\sqrt{2+\sqrt{3}}(TM)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 18-08-2015 - 22:41

[KietLW9]

1.Cho $x>1$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{x^4+1}{x(x-1)(x+1)}$

Ta có: $\frac{(x^4+1)^2}{x^2(x-1)^2(x+1)^2}-8=\frac{(x^4-4x^2+1)^2}{x^2(x-1)^2(x+1)^2}\geqslant 0\Rightarrow \frac{(x^4+1)^2}{x^2(x-1)^2(x+1)^2}\geqslant 8$

Mà $x>1$ nên $\frac{x^4+1}{x(x-1)(x+1)}>0$ do vậy $\frac{x^4+1}{x(x-1)(x+1)}\geqslant 2\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=\sqrt{2+\sqrt{3}}$