Chủ đề này có 1 trả lời

[Hoang Nhat Tuan]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$2(x+y+z)-3\geq \sum \sqrt[4]{\frac{x^4+1}{2}}$

Spoiler

Câu BĐT khá là ảo

[Hoang Nhat Tuan]

Từ giả thiết suy ra: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 3$ nên chỉ cần chứng minh:

$2.\sqrt[4]{2}(x+y+z)-\sqrt[4]{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})\geq \sum \sqrt[4]{x^4+1}$

$2.\sqrt[4]{2}(x+y+z)\geq \sum (\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt[4]{2x^2})$

Sử dụng BĐT Holder thì:$(1+1)(1+1)(1+1)(x^4+1+2x^2)\geq (\sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt[4]{2x^2})^4=>\sqrt[4]{8}.\sqrt{x^2+1}\geq \sqrt[4]{x^4+1}+\sqrt[4]{2x^2}$

Tương tự với $y$ và $z$. Cần chứng minh:

$2.\sqrt[4]{2}.(x+y+z)\geq \sqrt[4]{8}(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1})$

$<=>\sum \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{2}(x+y+z)$

Sử dụng C-S thì:

$\sum \sqrt{x^2+1}+\sum \sqrt{2x}\leq \sum \sqrt{2(x+1)^2}=\sqrt{2}(x+y+z)+3\sqrt{2}\leq \sqrt{2}(x+y+z)+\sum \sqrt{2x}$

(Theo AM-GM thì: $\sum \sqrt{2x}\geq 3\sqrt{2}$ )

BĐT được chứng minh, dấu bằng xảy ra tại $x=y=z=1$