Chủ đề này có 5 trả lời

[quynhquynh]

1) Cho a,b,c là các số thực không âm. CMR: \[4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}\]

2) Cho các số thực a,b,x,y. CMR: a)\[\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(x+y)^{2}}\]

 b) \[2\left [ (a+b)^{2}+(b+y)^{2}+(y+x)^{2}+(x+a)^{2} \right ]\leq (a+b+x+y)^{2}+4(a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2})\]

[hoctrocuaHolmes]

2.a)$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}\geq a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2}+2(ax+by)\Leftrightarrow\sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}\geq ax+by$

Xét:th1:$ax+by< 0\Rightarrow \sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}\geq 0> ax+by\Rightarrow \blacksquare$

th2:$ax+by\geq 0\Rightarrow (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})\geq (ax+by)^{2}\Leftrightarrow (ay-bx)^{2}\geq 0\Rightarrow \blacksquare$

Dấu''='' xảy ra khi $ay=bx\Leftrightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 19-08-2015 - 16:54

[Chung Anh]

 

1) Cho a,b,c là các số thực không âm. CMR: \[4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}\]

2) Cho các số thực a,b,x,y. CMR: a)\[\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(x+y)^{2}}\]

 b) \[2\left [ (a+b)^{2}+(b+y)^{2}+(y+x)^{2}+(x+a)^{2} \right ]\leq (a+b+x+y)^{2}+4(a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2})\]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chung Anh: 19-08-2015 - 17:01

[Louis Lagrange]

 

1) Cho a,b,c là các số thực không âm. CMR: \[4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}\]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

$(2\sqrt{c^{3}}-\sqrt{a^{3}}-\sqrt{b^{3}})^{2}+3ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \geq 0.\blacksquare$

[quan1234]

 

1) Cho a,b,c là các số thực không âm. CMR: \[4(\sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}})\leq 4c^{3}+(a+b)^{3}\]

2) Cho các số thực a,b,x,y. CMR: a)\[\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\geq \sqrt{(a+b)^{2}+(x+y)^{2}}\]

 b) \[2\left [ (a+b)^{2}+(b+y)^{2}+(y+x)^{2}+(x+a)^{2} \right ]\leq (a+b+x+y)^{2}+4(a^{2}+b^{2}+x^{2}+y^{2})\]

 

b, $2[(a+b)^2+(b+y)^2+(y+x)^2+(x+a)^2]\leq (a+b+x+y)^2+4(a^2+b^2+x^2+y^2)\Leftrightarrow (a+b+x+y)^2\geq 4ab+4by+4xy+4xa$

mà $4ab+4by+4xy+4xa=4(a+y)(b+x)\leq(a+b+x+y)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 19-08-2015 - 17:33

[dogsteven]

Mở rộng cho bài 2: $\sqrt{a^2-x^2}+\sqrt{b^2-y^2}\leqslant \sqrt{(a-b)^2+(x-y)^2}$