Chứng minh $\sum \frac{a^2}{b^2+c^2}\geq \sum \frac{a}{b+c}$ với $a,b,c>0$
#1
Đã gửi 19-08-2015 - 21:00
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
- phamquanglam yêu thích
#2
Đã gửi 19-08-2015 - 22:32
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
Ta biến đổi vế trái :
$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1)=\frac{1}{2}\sum \frac{(a-b)(a+b)+(a-c)(a+c)}{b^{2}+c^{2}}= \frac{1}{2}\sum (\frac{(a-b)(a+b)}{b^{2}+c^{2}}-\frac{(a-b)(a+b)}{a^{2}+c^{2}})=\frac{1}{2}\sum (a-b)(a+b)\frac{(a-b)(a+b)}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(a^{2}+c^{2})}$
Ta biến đổi vế phải:
$\sum \frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\sum \frac{a-b+a-c}{b+c}=\frac{1}{2}\sum (\frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{c+a})=\frac{1}{2}\sum (a-b)\frac{a-b}{(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}.\frac{1}{(b+c)(c+a)}$
Nên:
$VT-VP=\frac{1}{2}\sum (a-b)^{2}(\frac{(a+b)^{2}}{(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}-\frac{1}{(b+c)(c+a)})$
Sử dụng tiêu chuẩn 2 của $S.O.S$ ta suy ra điều phải chứng minh
- hoangyenmn9a và Minhnguyenthe333 thích
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
#3
Đã gửi 19-08-2015 - 22:50
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}
Bài toán tổng quát (Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng - Tr.85)
Với $a,b,c>0$ và với mọi $s \geq t \geq 0$ thì:
$\frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s} \geq \frac{a^t}{b^t+c^t}+\frac{b^t}{c^t+a^t}+\frac{c^t}{a^t+b^t}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttlinhtinh: 19-08-2015 - 22:53
- O0NgocDuy0O, Quoc Tuan Qbdh và Minhnguyenthe333 thích
#4
Đã gửi 20-08-2015 - 21:34
Bài này còn cách nào khác không ạ?
A naughty girl
#5
Đã gửi 21-08-2015 - 11:35
Bài này còn cách nào khác không ạ?
Xét hàm số: $f(x)=\frac{a^x}{b^x+c^x}+\frac{b^x}{c^x+a^x}+\frac{c^x}{a^x+b^x}$
Đạo hàm $f(x)$ theo $x$ có thể nhận thấy: $f'(x)\geq 0$ với $\forall x \geq 0$. Hàm $f(x)$ đồng biến với $x\in [0;+\infty )$
Do đó với $\forall s\geq t\geq 0$, ta có: $f(s)\geq f(t)$. Suy ra đpcm
- tunglamlqddb và tpdtthltvp thích
#6
Đã gửi 11-04-2021 - 15:05
$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)}\geqslant 0$*đúng*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh