Bài 65:Cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng
$\frac{2a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq a+b+c$
Bài 65:Cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng
$\frac{2a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq a+b+c$
Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài 67:Cho $a,b,c,d> 0$. Chứng minh rằng$\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\geq 4$
Bài 67:Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài 67:Cho $a,b,c,d> 0$. Chứng minh rằng$\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+\frac{c+a}{c+d}+\frac{d+b}{d+a}\geq 4$
Bài 65:Cho a,b,c là các số thực dương. chứng minh rằng
$\frac{2a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{2c^{3}}{c^{2}+a^{2}}\geq a+b+c$
Edited by royal1534, 30-08-2015 - 10:27.
Bài đầu,luyện cách xét dấu ấy mà
Bài này dùng bđt cũng được:
Biến đổi thành $\left | x-1 \right |+\left | x+2 \right |=\left | 1-x \right |+\left | x+2 \right |\geq 3$
Dấu = xảy ra chính là nghiệm pt
Success doesn't come to you. You come to it.
Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\frac{a(a^2+ab+b^2)-ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq a-\frac{ab(a+b)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}$
CMTT:$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\geq b-\frac{b+c}{3}$
$\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}\geq c-\frac{a+c}{3}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $
Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$
Edited by royal1534, 30-08-2015 - 10:30.
Bài 66:Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng
A=$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ac+c^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$
Ta có : $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ nên $a^{2}+ab+b^{2}\leq \frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})$
=> $\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2}{3}(\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}})$
=> $A\geq \frac{2}{3}\Sigma (\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}})$
Cần c/m $\Sigma \frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}$ (c/m tương tự bài 65 của royal1534)
=> đpcm
Bài 69:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left | \sqrt{x^2-4x+5}-\sqrt{x^2+6x+13} \right |$
Bài 70:
Cho trước số hữu tỉ m sao cho $\sqrt[3]{m}$ là số vô tỉ.Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho $a\sqrt[3]{m^2}+b\sqrt[3]{m}+c=0$
Bài 63:Cho $a,b,c\geq 1$ . Chứng minh rằng
$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}$
Bài này mình còn có cách khác
Vận dụng BĐT C-S ta có : $(\sqrt{a-1}+1)(1+\sqrt{b-1})\geq (\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}$
hay $(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}\leq ab$
=> $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\leq \sqrt{ab}$
Cần c/m : $\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{c(ab+1)}$ (cái này dùng BĐT C-S là ra ngay )
=> ĐPCM
Edited by meomunsociu, 30-08-2015 - 10:50.
Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $
Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$
$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}=\dfrac{\dfrac{c}{a}}{c(a+b)}+\frac{\dfrac{a}{b}}{a(b+c)}+\dfrac{\dfrac{b}{c}}{b(c+a)}\geq \frac{\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{c}} \right )^2}{2(ab+bc+ac)}\geq \frac{3^2}{2.1}=\frac{9}{2}$
Bài 71:
Với mọi số thực không âm a,b, c. Chứng minh
$$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(c+b)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$$
Bài 68:Cho $a,b,c>0 ,ab+bc+ca=1 $
Chứng minh $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)} \geq \frac{9}{2}$
Áp dụng Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có
$VT= \sum \frac{\frac{c}{a}}{c(a+b)}\geq \frac{(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3^{2}.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}}{2}=\frac{9}{2}$
(chú ý gt $ab+bc+ca=1$)
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài này đặt ẩn cho dễ
Đặt $a=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$$\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2$BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow a^{2}-2+4\geq 3a$$\Leftrightarrow a^{2}-3a+2\geq 0$$\Leftrightarrow (a-2)(a-1)\geq 0$(Đúng,Chú ý $a\geq 2$)
Chứng minh bị lỗi do không thể kết luận $a\geq2$ bởi $x,y$ có thể âm.
Edited by O0NgocDuy0O, 30-08-2015 - 11:21.
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Áp dụng Cauchy-Schwarz và AM-GM ta có
$$VT= \sum \frac{\frac{c}{a}}{c(a+b)}\geq \frac{(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3^{2}.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}}{2}=\frac{9}{2}$$
(chú ý gt $ab+bc+ca=1$)
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được như vậy nhỉ
Edited by meomunsociu, 30-08-2015 - 11:25.
Bài 19 cm f(x) chia hết g(x) với
f(x) = (x2 + x -1)2012 - (x2 -x +1)2010 -2
g(x) =x2 - x
Cho mình hỏi tại sao lại suy ra được như vậy nhỉ
Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhé bạn
cmr f(x) chia hết cho g(x) với
f(x) = (x2 +x-1)2012 - (x2 - x+1)2010 -2
g(x) =x2 - x
Do áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz nhé bạn
Spoiler
ý mình là chỗ $(\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^{2}\geq 3^{2}.\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}$
Edited by meomunsociu, 30-08-2015 - 11:38.
0 members, 1 guests, 0 anonymous users