Chủ đề này có 667 trả lời

[nangcuong8e]

Bài 87 :

Cho 3 số thực dương a, b ,c thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh : $\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\geq 2$

Cách giải khác:

 Ta có: $\sum \frac{a+bc}{b+c} =\sum \frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}$ (do $a+b+c=1$)

$\Rightarrow \sum \frac{a+bc}{b+c} =\sum \frac{(a+b)(c+a)}{b+c}$

 Đặt ($a+b;b+c;c+a$)$\rightarrow$($x,y,z$) ($x,y,z >0$) thì $x+y+z =2$, ta cần chứng minh:

$\frac{xy}{z} +\frac{yz}{x} +\frac{zx}{y} \geq 2 =x+y+z$

 Bài toán được chứng minh xong.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[nangcuong8e]

Bài 88: (Đây là 1 bài toán khá hay)

Cho ba số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng : 

$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c+a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{(2c+b+a)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq 8$

Chọn $a+b+c=3$ thì ta có:

 $P =\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} =\sum \frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2} =\sum \frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}$

$\Leftrightarrow 3P = \sum \frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3}$

 Do đó ta cần chứng minh $\frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3} \leq 4a+4 \Leftrightarrow 4a^3-5a^2-2a+3 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1)^2(4a+3) \geq 0$ (luôn đúng với $a$ dương)

Vậy $3P =\sum \frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3} \leq \sum (4a+4) =4(a+b+c) +4.3 =24$

$\Rightarrow P \leq 8$

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 01-09-2015 - 13:01

[royal1534]

Chọn $a+b+c=3$ thì ta có:

 $P =\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} =\sum \frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2} =\sum \frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}$

$\Leftrightarrow 3P = \sum \frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3}$

 Do đó ta cần chứng minh $\frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3} \leq 4a+4 \Leftrightarrow 4a^3-5a^2-2a+3 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1)^2(4a+3) \geq 0$ (luôn đúng với $a$ dương)

Vậy $3P =\sum \frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3} \leq \sum (4a+4) =4(a+b+c) +4.3 =24$

$\Rightarrow P \leq 8$

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

 Mình ko hiểu dòng này lắm 

[nangcuong8e]

 Mình ko hiểu dòng này lắm 

Chuẩn hóa đó bạn, mình tưởng bạn biết rồi 

[Minh Hieu Hoang]

Bài này dùng chuẩn hóa.Và mình nghĩ bạn không nên đưa nó vào topic này 

Bài này không cần dùng chuẩn hóa đâu bạn ạ 

[royal1534]

Bài này không cần dùng chuẩn hóa đâu bạn ạ 

Thế bạn có thể giải giúp mình đc không 

[Minh Hieu Hoang]

Bài 88: (Đây là 1 bài toán khá hay)

Cho ba số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng : 

$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c+a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{(2c+b+a)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq 8$

Ta có : $\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8\Leftrightarrow \sum 3-\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^2}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq 1$

Lại có : $2a^2 +(b+c)^2 \leq 2a^2 + 2(b^2 + c^2)= 2(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow \sum \frac{2(b+c-a)^{2}}{2a^2+(b+c)^2}\geq \sum \frac{2(b+c-a)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Ta cần chứng minh : $\frac{\sum (b+c-a)^2}{a^2+b^2+c^2}\geq 1 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)\geq 0$ (luon dung)

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c

[an nguyen x satachi]

các bạn cho mình hỏi ngu tí xem qua rất nhiều bài giải về bđt trên topic này mình vẫn chưa hiểu rõ $\Sigma$ là dì dù biết nó là hàm tính tổng

[an nguyen x satachi]

Chọn $a+b+c=3$ thì ta có:

 $P =\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} =\sum \frac{(a+3)^2}{2a^2+(3-a)^2} =\sum \frac{a^2+6a+9}{3a^2-6a+9}$

$\Leftrightarrow 3P = \sum \frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3}$

 Do đó ta cần chứng minh $\frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3} \leq 4a+4 \Leftrightarrow 4a^3-5a^2-2a+3 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1)^2(4a+3) \geq 0$ (luôn đúng với $a$ dương)

Vậy $3P =\sum \frac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3} \leq \sum (4a+4) =4(a+b+c) +4.3 =24$

$\Rightarrow P \leq 8$

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$

đoạn chọn thì mình ko hiểu lắm

[CaptainCuong]

Bài 88: Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa $2a^{2}+a=3b^{2}+b$. Chứng minh rằng 2b+2a+1 là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 02-09-2015 - 07:44

[CaptainCuong]

Vừa mới nghĩ ra cách mới 

$\sum \frac{a+bc}{b+c}= \sum \frac{(1-b)(1-c)}{1-a}=$$\sum \frac{(1-b)^{2}(1-c)^{2}}{(1-a)(1-b)(1-c)}\geq \frac{(1-a)(1-b)(1-c)(3-a-b-c)}{(1-a)(1-b)(1-c)}= 2$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow$

$a=b=c=\frac{1}{3}$

Chỗ này mình không hỉu lắm

[CaptainCuong]

Chỗ này mình không hỉu lắm

Mình hỉu rồi. Cảm ơn bạn

Nhân đây xin C/m cho mọi người không hiểu như mình

Cần chứng minh

$\sum (1-a)^{2}(1-b)^{2}\geq (1-a)(1-b)(1-c)_3-a-b-c$

Thay 1-a=x; 1-b=y; 1-c=z

$\Rightarrow BDT\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq abc(a+b+c)$

Trở về BĐT quen thuộc này các bạn có thể chứng minh tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 01-09-2015 - 23:11

[Namthemaster1234]

Bài 88: Cho 2 số nguyên dương a,b thỏa $a^{2}+a=b^{3}+b$. Chứng minh rằng 2b+2a+1 là số chính phương

Với $a=b=1$ thì $2a+2b+1=5$ không là chính phương

 

[Minh Hieu Hoang]

Bài 89 : 1) Tìm các số tự nhiên n để 7²⁰⁰³ + 3ⁿ có chữ số hàng đơn vị là 8 . 

              2) Cho a,b là các số tự nhiên lớn hơn 2 và p là số tự nhiên thỏa mãn : 

                          $\frac{1}{p}= \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$

         Chứng minh p là hợp số

[congdaoduy9a]

Cần thêm ((a-b),(2a-2b+1)))=1 nữa

Cách cm tương tự bài http://diendantoanho...-đề-chính-thức/

[CaptainCuong]

Bạn có lời giải nào hay hơn thì đăng lên thảo luận nhé.Cách này ko hay lắm.

 

Bài 37: $\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum (c+\frac{a-c^2}{b+c})=1+\sum \frac{a-c^2}{b+c}=-2+\sum \frac{a+b+c-c^2}{b+c}=-2+\sum\frac{1-c^2}{1-a}$

 

Ta chỉ cần chứng minh: $\sum \frac{1-c^2}{1-a}\geq 4$

 

Thật vậy: $\sum \frac{1-c^2}{1-a}\geqslant \sum \frac{1-c^2}{1-c}=3+(a+b+c)=4$

 

Kết thúc chứng minh. Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

Chỗ này ko hỉu lắm

[Minh Hieu Hoang]

 

77. Tìm các số có 3 chữ số $\overline{abc}$ sao cho $\overline{abc}=9(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Câu 77 làm thế nào vậy các bạn

[daothihien]

Bài 91. Cho các số x, y, z thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} x+y+z=5\\xyz=1 \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Bài 92. Cho x, y, z là các số khác 0 thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix}x+&y+&z =&xyz \\ &x^{2} &= &yz \end{matrix}\right.$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $A=2x^{4}-3yz$

Bài 93. Cho x, y là các số thỏa mãn : $(x^{2}-y^{2}+2)^{2}+4x^{2}y^{2}-6x^{2}-y^{2}=0$

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : $A=x^{2}+y^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 02-09-2015 - 19:44
Chú ý cách đặt stt bài trong TOPIC

[Minh Hieu Hoang]

sôi nổi lên nào mọi người 

[quynhphamdq]

Bài 94 :Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{matrix}(x^{2}+1)(y^{2}+1)=10 & \\ (x+y)(xy-1)=3 & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimchitwinkle: 03-09-2015 - 11:15