Chủ đề này có 667 trả lời

[nangcuong8e]

Bài 107: Cho $a,b,c$ thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

 

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc +\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

 

Bài 108: Với kí hiệu $[a]$ là phần nguyên của số thực $a$ thì chứng minh rằng, với mọi $n \in N$ thì $[(2+\sqrt{3})^n]$ là một số lẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 04-09-2015 - 22:33

[Namthemaster1234]

Bài 107: Cho $a,b,c$ thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

 

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc +\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

 

Bài 108: Với kí hiệu $[a]$ là phần nguyên của số thực $a$ thì chứng minh rằng, với mọi $n \in N$ thì $[(2+\sqrt{3})^n]$ là một số lẻ

 

Bài 108:  Đặt $x=2+\sqrt{3}$ và $y=2-\sqrt{3}$

 

Ta dễ chứng minh $x^n+y^n=2k$ với k là số tự nhiên

 

Chú ý rằng $0<y<1$ nên $x^n>2k-1$

 

mà $x^n<2k=x^n+y^n$

 

Vậy $[x^n]=2k-1$ là một số lẻ

[royal1534]

BÀI 101: Tìm min và max của A =x(x²-6) biết $0\leq x\leq 3$

Chưa có ai tìm Min thì mình tìm nhé:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$x^{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\geq 3\sqrt[3]{x^{3}.2\sqrt{2}.2\sqrt{2}}=6x$

$\rightarrow x^{3}-6x \geq -4\sqrt{2}$

$\rightarrow x^{2}(x-6) \geq -4\sqrt{2}$

Vậy $minA=-4\sqrt{2}$ $\Leftrightarrow x^{3}=2\sqrt{2}$

                                       $\Leftrightarrow x=\sqrt{2}$

[CaptainCuong]

Bài 109: Cho $0< x< \frac{1}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{2-x}{1-2x}+\frac{1+2x}{3x}$

[nloan2k1]

Bài 106

Chứng minh bất đẳng thức AM-GM
$\frac{a1+a2+...+ai}{i} ≥ \sqrt[i]{a1.a2....ai}$

Quy nạp.

Ta bất đẳng thức đúng với $n=2$. Nếu BĐT đúng với $n$ số thì cũng đúng với $2n$ số vì: 

$a_1+a_2+...+a_{2n}\geq n\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}+n\sqrt[n]{a_{n+1}a{n+2}...a_{2n}}\geq 2n\sqrt[2n]{a_1a_2...a_n}$

Do đó BĐT cũng đún khi n bằng một lũy thừa của $2$. Mặt với nếu BĐT đúng với $n$ số thì cũng đúng với $n-1$ số, thật vậy.

Chọn $a_n=\frac{s}{n-1}$,$s=a_1+a_2+...+a_{n-1}$

=> $s+\frac{s}{n-1}\geq n \sqrt[n]{\frac{a_1a_2...a_n}{n-1}}$

=> $s\geq (n-1)\sqrt[n-1]{a_1a_2...a_{n-1}}$ ( ĐPCM) 

Spoiler

Làm cái khác đi mà. Đừng làm bất nữa. Bát ngát toàn bất không...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nloan2k1: 04-09-2015 - 23:06

[Namthemaster1234]

Bài 109: Cho $0< x< \frac{1}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{2-x}{1-2x}+\frac{1+2x}{3x}$

$A=\frac{10}{3}+\frac{1-2x}{3x}+\frac{3x}{1-2x}\geq 2+\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$

 

Dấu = khi $x=\frac{1}{5}$

[nloan2k1]

Bai 110: Cho các số thực dương $x,y$ thỏa: $x+y=2$.

Tìm max: $P=\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}$

Bài 111: Cho $a,b,c$ là các số dương không lớn hươn $1$

CMR $\sum \frac{a}{bc+1}<2$

Bài 112: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $a,y$ thỏa mãn PT: 

$(y+1)^4+y^4=(x+1)^2+x^2$

[VOHUNGTUAN]

Bài này votruc làm rồi mà xem ở page 1 ấy 

Spoiler

Bạn xem lại lỗi Latex nhé

Hữu hạn và vô hạn cũng đâu có khác mấy nhỉ ,cũng chỉ đơn giản là $A=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+......}}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+3......}}}}=3$

Thử nghiệm thực tế cũng cho thấy điều đó rồi.

A HA bạn nói đúng rồi. thì ra lỗi là ở chỗ A²=6+A =>A=2 hoặc A=-3. Mà A>0 =>A= 2

[royal1534]

Bai 110: Cho các số thực dương $x,y$ thỏa: $x+y=2$.

Tìm max: $P=\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}$

Bài 111: Cho $a,b,c$ là các số dương không lớn hươn $1$

CMR $\sum \frac{a}{bc+1}<2$

Bài 112: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $a,y$ thỏa mãn PT: 

$(y+1)^4+y^4=(x+1)^2+x^2$

Bài 111:Vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử $a\geq b\geq c$

Ta có $1\geq c>0$ nên:$(1-a)(1-c)\geq 0 \Rightarrow 1+ac\geq a+c >0$

$\rightarrow \frac{b}{ac+1} \leq \frac{b}{a+c} \leq \frac{b}{b+c}$

Tương tự: $\frac{c}{ab+1} \geq \frac{c}{a+b} \leq \frac{c}{b+c}$

Mà $\frac{a}{bc+1}\leq a \leq 1 $

$\rightarrow \frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1} \leq 1+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}=2$ 

Dấu $'='$ xảy ra $\Leftrightarrow$ Trong ba số $a,b,c$ có hai số bằng 1 và một số bằng 0(trái với gt a,b,c dương)

Vậy:$\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}>2$

[Namthemaster1234]

Bai 110: Cho các số thực dương $x,y$ thỏa: $x+y=2$.

Tìm max: $P=\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}$

Bài 111: Cho $a,b,c$ là các số dương không lớn hươn $1$

CMR $\sum \frac{a}{bc+1}<2$

Bài 112: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm $a,y$ thỏa mãn PT: 

$(y+1)^4+y^4=(x+1)^2+x^2$

 

Bài 110:  $P \leq \sqrt{2(x+y+6}=4$

Dấu "=" khi $x=1,y=1$

 

Bài 111: Do $a,b,c \leq 1$ nên: $\sum \frac{a}{bc+1}\leq \sum \frac{a}{b+c} <\sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

 

Bài 112:  $x=y=0$ là một nghiệm của phương trình:

Với $x,y>0$

$(2y^2+2y+2)^2>4y^4+8y^3+12y^2+8y+1=(2x+1)^2>(2y^2+y+1)^2$

Vô nghiệm

 

Vậy nghiệm là (0,0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 05-09-2015 - 09:37

[royal1534]

A HA bạn nói đúng rồi. thì ra lỗi là ở chỗ A²=6+A =>A=2 hoặc A=-3. Mà A>0 =>A= 2

Hình như bạn nhầm rồi $A^{2}=6+A$ cho ra nghiệm là A=(-2) hoặc A=3 mà vì A>0 nên lấy nghiệm là 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 05-09-2015 - 09:21

[VOHUNGTUAN]

BÀI 113: GHPT: 2x²y=y² +1  và     2y²x=x² +1  

  p/s:  sorry vì ko mở đc latex

[Namthemaster1234]

BÀI 113: GHPT: 2x²y=y² +1  và     2y²x=x² +1  

  p/s:  sorry vì ko mở đc latex

Hệ tương đương với $(x-y)(x+y+2xy)=0 $

[hoctrocuaHolmes]

Bài 107: Cho $a,b,c$ thực dương. Chứng minh bất đẳng thức:

 

$\sqrt{(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)} \geq abc +\sqrt[3]{(a^3+abc)(b^3+abc)(c^3+abc)}$

Chia cả 2 vế cho $abc$ bất đẳng thức cần cm trở thành

$\sqrt{(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})}\geq 1+\sqrt[3]{(\frac{a}{b}.\frac{a}{c}+1)(\frac{b}{c}.\frac{b}{a}+1)(\frac{c}{a}.\frac{c}{b}+1)}$

Đặt $\frac{a}{c}=x;\frac{b}{a}=y;\frac{c}{b}=z\Rightarrow xyz=1$

Ta cần cm $\sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geq 1+\sqrt[3]{\sum (1+\frac{x}{y})}\Leftrightarrow \sqrt{3+\sum \frac{x}{y}}\geq 1+\sqrt[3]{2+\sum \frac{x}{y}}$

Đặt $\sum \frac{x}{y}=a$ $(a \geq 6)$ ta có$\sqrt{3+a}\geq 1+\sqrt[3]{2+a}$ $(*)$

Đặt $\sqrt[3]{2+a}=b (b \geq 2)$ $\Rightarrow (*) \Leftrightarrow b(b+1)(b-2) \geq 0$ (luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$

[kingkn02]

$\boxed{ Bài 44}$Cho đa thức $P( x  )=x^{2}+bx+c$, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức $x^{4}+6x+25$ và $3x^{4}+4x^{2}+28x+5$ đều chia hết cho $P( x)$. Tính $P( 1)$

 

Đặt $Q(x)=x^4+6x+25$ và $R(x)=3x^4+4x^2+28x+5$, ta có: 

$Q(x)\vdots P(x)\Rightarrow Q(1)\vdots P(1)\Rightarrow 32\vdots P(1)$

Tương tự: $R(x)\vdots P(x)\Rightarrow R(1)\vdots P(1)\Rightarrow 40\vdots P(1)$

Do đó: $P(1)\in ƯC(32,40)$

Vậy $P(1)$ nhận các giá trị $\pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8$

[Dao Khanh Ly]

$113$.Cho x,y,z đôi một khác nhau. CMR:

$\sum \frac{x^{2}}{(y-z)^{2}}\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dao Khanh Ly: 05-09-2015 - 15:05

[VOHUNGTUAN]

BÀI 115:  Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: n²+11n+39 không chia hết cho 49.

 

BÀI 116:   GPT nghiệm nguyên : x²-25y²-2x+6=0

 

BÀI 117:    CM: n⁸-n⁶-n⁴+n² $\vdots 5760 \forall n\in \mathbb{N}$ và n lẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VOHUNGTUAN: 05-09-2015 - 15:13

[royal1534]

BÀI 115:  Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: n²+11n+39 không chia hết cho 49.

 

BÀI 116:   GPT nghiệm nguyên : x²-25y²-2x+6=0

 

BÀI 117:    CM: n⁸-n⁶-n⁴+n² $\vdots 5760 \forall n\in \mathbb{N}$ và n lẻ

Bài 115:Đặt A=VT 

Phân tích thành nhân tử ta có $A=(n+2)(n+9)+21$

Ta có $(n+9)-(n+2)=7$ nên $n+9$ và $n+2$ cùng chia hết cho 7 hoặc không cùng chia hết cho 7

Xét n+9 và n+2 cùng chia hết cho 7

$\rightarrow (n+2)(n+9)$ chia hết cho 49 

$\rightarrow A=(n+2)(n+9)+21$ không chia hết cho 49

Xét $n+9$ và $n+2$ không chia hết cho 7 

hiển nhiên $A$ không chia hết cho $49$

$\rightarrow ĐPCM$

[nangcuong8e]

 

BÀI 117:    CM: n⁸-n⁶-n⁴+n² $\vdots 5760 \forall n\in \mathbb{N}$ và n lẻ

Ta có: $A =n^8-n^6-n^4+n^2 =[(n-1)n(n+1)]^2(x^2+1)$

 Chứng minh $A \vdots 2^7$ ; $A \vdots 3^2$ và $A \vdots 5$ với điều kiện $n$ lẻ ta được điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nangcuong8e: 05-09-2015 - 15:55

[hoctrocuaHolmes]

BÀI 116:   GPT nghiệm nguyên : x²-25y²-2x+6=0

$PT\Leftrightarrow (x-1)^{2}-25y^{2}+5=0\Leftrightarrow (x-5y-1)(x+5y-1)=-5$

Đến đây xét ước

Cũng có 1 bài này chưa giải ra,đăng lên hỏi các bạn

Bài 118:Cho $a;b;c;d>0$ và $abcd=1$.

Chứng minh rằng
$\frac{a^3}{b^2(c^2+d^2)}+\frac{b^3}{c^2(d^2+a^2)}+\frac{c^3}{d^2(a^2+b^2)}+\frac{d^3}{a^2(b^2+c^2)} \geq 2$