1 reply to this topic

[Trung Gauss]

Bài toán: Cho tập $S=\{a_1, a_2, ..., a_n\}\subset \mathbb{N^*}$ và $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$. Giả sử rằng với mọi $k\in\mathbb{Z^+}$ đều tồn tại chỉ số $i$ sao cho $a_i\;|\;P(k)$. CMR: tồn tại một chỉ số $i_o$ sao cho $a_{i_0}\;|\;P(k), k\in\mathbb{Z}$

Edited by Trung Gauss, 25-08-2015 - 15:00.

[Karl Heinrich Marx]

Bài toán: Cho tập $S=\{a_1, a_2, ..., a_n\}\subset \mathbb{N^*}$ và $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$. Giả sử rằng với mọi $k\in\mathbb{Z^+}$ đều tồn tại chỉ số $i$ sao cho $a_i\;|\;P(k)$. CMR: tồn tại một chỉ số $i_o$ sao cho $a_{i_0}\;|\;P(k), k\in\mathbb{Z}$$

Trước tiên đặt $a$ là BCNN của tất cả các phần tử thuộc $S$.

Với mọi số $r \in Z$ thì luôn tồn tại số $k$ để $r+ka \in Z^+$, khi đó thì $P(r) \equiv P(r+ka)$ (mod $a$), mặt khác tồn tại $a_i$ để $a_i|P(r+ka)$ và $a_i|a$ ta suy ra $a_i|P(r)$.