Chủ đề này có 3 trả lời

[quan1234]

Cho $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quan1234: 27-08-2015 - 14:43

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a,b,c \in \left [ 0;1 \right ]$.Chứng minh rằng $\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{a}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Đoạn màu đỏ phải là $c$ chứ nhỉ

Áp dụng AM-GM ta có 

$(1-a)(1-b)(1+a+b)\leq \frac{(1-a+1-b+1+a+b)^{3}}{27}=1\Leftrightarrow (1-a)(1-b)\leq \frac{1}{1+a+b}$

suy ra  $(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{1+a+b}$

Thiết lập các BĐT tương tự ta có 

$(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-b}{1+a+c};(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-a}{1+c+b}\Rightarrow 3(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{1+a+b}+\frac{1-b}{1+a+c}+\frac{1-a}{1+c+b}$

$\Rightarrow 3VT\leq \frac{2b+1}{a+c+1}+\frac{2c+1}{a+b+1}+\frac{2a+1}{b+c+1}\leq\frac{3b+1}{a+b+c+1}+\frac{3c+1}{a+b+c+1}+\frac{3a+1}{a+b+c+1}=3\Leftrightarrow VT\leq 1$

(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 26-08-2015 - 17:33

[Phuong Thu Quoc]

Giả sử $c=max\left \{ a;b;c \right \}$

$\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1+a+b \right )\leq \left ( \frac{1-a+1-b+1+a+b}{3} \right )^{3}=1\Rightarrow \left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\leq \frac{1-c}{1+a+b}$

$\frac{a}{b+c+1}\leq \frac{a}{a+b+1},\frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{a+b+1}$

Cộng hết vào...

[anhxtanh1879]

các bạn tham khảo tại đây

http://diendantoanho...-y-1-1-x1-y1-z/