Chủ đề này có 7 trả lời

[hoctrocuaHolmes]

1.Cho $a,b \geq 0$ thoả mãn $ab=1$

Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$

2.Cho $a,b ,c\geq 0$ thoả mãn $abc=1$

Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{6}{a+b+c}\geq 5$

3.Cho $a,b ,c\geq 0$ thoả mãn $abcd=1$

Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{9}{a+b+c+d}\geq \frac{25}{4}$

Spoiler

Mình biết là có thể 1 trong 3 bài này đã có ở diễn đàn nhưng mình vẫn muốn đăng lên để thảo luận,các bạn thử đưa bài toán lên $5$ biến hay $n$ biến xem sao hay ta có thể làm chặt những bất đẳng thức này như thế nào?.  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 27-08-2015 - 19:32

[hoangyenmn9a]

bài 1: nhân 2 vế với a+b bđt <=> $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}).(a+b) \geqslant 5$ dễ dàng CM được .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangyenmn9a: 27-08-2015 - 19:50

[dogsteven]

Các bài này đều có thể giải bằng dồn biến. Đối với bài có $5$ biến, ngoài dồn biến ra ta còn có thể giải bằng ...................................... S.O.S, có thể nhiều người sẽ không tin

[tunglamlqddb]

Các bài này đều có thể giải bằng dồn biến. Đối với bài có $5$ biến, ngoài dồn biến ra ta còn có thể giải bằng ...................................... S.O.S, có thể nhiều người sẽ không tin

Bạn thử vd một bài với dồn biến đi, mình chưa thuần thục phần này lắm! Cả cái S.O.S nữa nhé! ( tks in advance!@)

[ttlinhtinh]

3.Cho $a,b ,c\geq 0$ thoả mãn $abcd=1$

Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{9}{a+b+c+d}\geq \frac{25}{4}$

Spoiler

Mình biết là có thể 1 trong 3 bài này đã có ở diễn đàn nhưng mình vẫn muốn đăng lên để thảo luận,các bạn thử đưa bài toán lên $5$ biến hay $n$ biến xem sao hay ta có thể làm chặt những bất đẳng thức này như thế nào?.  

Bài toán tổng quát (Ví dụ 3.1.18 - Tr.226 - Sáng tạo Bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng)

Với các số thực không âm $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ thỏa mãn $a_{1}a_{2}...a_{n}=1$ và $n \geq 4$ thì ta có:

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}+\frac{3n}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\geq n+3$ (1)

Mặt khác, áp dụng AM-GM ta có:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}=n \Rightarrow \frac{-k}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\geq \frac{-k}{n}$ với $k > 0$ (2)

Từ (1) và (2) ta có bất đẳng thức mới:

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}+\frac{3n-k}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\geq (n+3)-\frac{k}{n}$

Với bài trên, thay $n = 4$ và $k = 3$ ta có điều phải chứng minh

Dấu $=$ xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttlinhtinh: 28-08-2015 - 17:33

[cachcach10x]

1.Cho $a,b \geq 0$ thoả mãn $ab=1$

Chứng minh $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$

 

BĐT$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$

       $\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2} $(vì ab=1)

       $\Leftrightarrow \frac{a+b}{4}+\frac{1}{a+b}+\frac{3(a+b)}{4}\geq \frac{5}{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

        $\frac{a+b}{4}+\frac{1}{a+b}\geq 1           (1)$

        $\frac{3(a+b)}{4}\geq \frac{3.2ab}{4}=\frac{3}{2}      (2)$

Cộng theo vế (1) và (2) ta đc đpcm

[ttlinhtinh]

BĐT$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$

       $\Leftrightarrow a+b+\frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2} $(vì ab=1)

       $\Leftrightarrow \frac{a+b}{4}+\frac{1}{a+b}+\frac{3(a+b)}{4}\geq \frac{5}{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

        $\frac{a+b}{4}+\frac{1}{a+b}\geq 1           (1)$

        $\frac{3(a+b)}{4}\geq \frac{3.\color{red}{2ab}}{4}=\frac{3}{2}      (2)$

Cộng theo vế (1) và (2) ta đc đpcm

$2\sqrt{ab}$ chứ nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ttlinhtinh: 28-08-2015 - 17:10

[cachcach10x]

$2\sqrt{ab}$ chứ nhỉ

Ui mình nhầm nhưng may kết quả vẫn thế