Chủ đề này có 1 trả lời

[cachcach10x]

a,b,c> 0, abc=8. CMR:

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4}{3}$

[hoctrocuaHolmes]

a,b,c> 0, abc=8. CMR:

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có 

$\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}=\sqrt{(a+1)(b+1)(a^{2}-a+1)(b^{2}-b+1)}\leq \frac{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}{4}\Rightarrow \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geq \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}$

Tương tự ta có

$\frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{(1+b^{3})(1+c^{3})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{(1+c^{3})(1+a^{3})}}\geq \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}+\frac{4b^{2}}{(b^{2}+2)(c^{2}+2)}+\frac{4c^{2}}{(c^{2}+2)(a^{2}+2)}$

Ta cần cm 

$\frac{a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}+\frac{b^{2}}{(b^{2}+2)(c^{2}+2)}+\frac{c^{2}}{(c^{2}+2)(a^{2}+2)}\geq \frac{1}{3}$

Đoạn này mình xử lí không được hay lắm,nếu có thể bạn nghĩ cách khác xem 

Quy đồng chuyển vế ta cần cm

$2(x^{2}+y^{2}+z^{2})+x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\geq 72$ $(*)$

Thật vậy áp dụng AM-GM ta có

$2(x^2+y^2+z^2)+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq 6\sqrt[3]{x^2y^2z^2}+3\sqrt[3]{x^4y^4z^4}=72$ (đúng theo $(*)$) suy ra đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=2$