a,b,c> 0, abc=1.CMR:
$(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Edited by cachcach10x, 29-08-2015 - 21:23.
$(a+\frac{1}{b}-1)+(b+\frac{1}{c}-1)+(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Started By cachcach10x, 28-08-2015 - 22:48
#2
Posted 29-08-2015 - 12:45
quan1234
-
- Thành viên
-
- 257 posts
Thượng sĩ
a,b,c> 0, abc=1.CMR
$(a+\frac{1}{b}-1)+(b+\frac{1}{c}-1)+(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
Edited by quan1234, 30-08-2015 - 17:44.
- O0NgocDuy0O and CaptainCuong like this
#3
Posted 29-08-2015 - 17:49
CaptainCuong
-
- Thành viên
-
- 212 posts
Thượng sĩ
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{x})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
Nhưng lỡ như không có x,y,x nào thỏa $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ thì sao
#4
Posted 29-08-2015 - 18:58
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 posts
Trung úy
Nhưng lỡ như không có x,y,x nào thỏa $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$ thì sao
Chắc chắc tồn tại do $abc=1$.
- CaptainCuong likes this
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Posted 29-08-2015 - 21:41
cachcach10x
-
- Thành viên
-
- 76 posts
Hạ sĩ
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{x})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
chỗ đấy phải là $\frac{z}{y}$ chứ nhỉ 
A naughty girl 
#6
Posted 30-08-2015 - 17:51
quan1234
-
- Thành viên
-
- 257 posts
Thượng sĩ
chỗ đấy phải là $\frac{z}{y}$ chứ nhỉ
Xin lỗi, mình đánh nhầm. Mình sửa lại rồi đấy.
#7
Posted 30-08-2015 - 20:01
cachcach10x
-
- Thành viên
-
- 76 posts
Hạ sĩ
Theo mình đề phải như thế này chứ $(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$
Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$
Ta có $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x})= \frac{(x-y+z)(y+x-z)(z+y-x)}{xyz}$
Ta chỉ cần phải chứng minh $(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$
Ta có $(x-y+z)(y-z+x)\leq \frac{(x-y+z+y-z+x)^2}{4}=x^2$
tương tự rồi nhân vào, ta sẽ được đpcm
Chỗ này không chặt chẽ. Vì x-y+z; y-z+x; z-x+y chưa chắc đã lớn hơn 0;
$(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)\leq xyz$ là BĐT Schurs nên ta phải giả sử x lớn nhất rồi xét hai trường hợp. 
- quan1234 likes this
A naughty girl
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
