5 replies to this topic

[shinichikudo201]

Cho mình hỏi kí hiệu $\parallel$ trong số học có nghĩa là gì? Ví dụ $3^k\parallel n$ là gì?

[Min Nq]

$3^k\parallel n$

thì mình không biết nhung kí hiệu này theo mình là song song

Edited by Min Nq, 29-08-2015 - 20:34.

[nhungvienkimcuong]

Cho mình hỏi kí hiệu $\parallel$ trong số học có nghĩa là gì? Ví dụ $3^k\parallel n$ là gì?

$p^\alpha ||n\Leftrightarrow v_p(n)=\alpha$ tức là số mũ đúng của $n$ trong phân tích thừa số nguyên tố

không liên quan nhưng bài mình ấn tượng nhất khi sử dụng kí hiệu này là

$\begin{array}{|c|}\hline \boxed{\text{Problem}}\ \text{Cho số nguyên dương}\ m\ \text{mà}\ (m,n)=1.\text{Tìm}\ \left ( x,y,n \right )\ \text{sao cho}\\ (x^2+y^2)^m=(xy)^n \\ \hline\end{array}$

Edited by nhungvienkimcuong, 29-08-2015 - 20:59.

[shinichikudo201]

thì mình không biết nhung kí hiệu này theo mình là song song

Song song là kí hiệu hình học bạn nhé, cái kí hiệu này là số học, trong ví dụ đó hình như nó có nghĩa là  k là số lớn nhất thỏa mã tính chất $3^k$ chia hết $n$.

[Ego]

$p^\alpha ||n\Leftrightarrow v_p(n)=\alpha$ tức là số mũ đúng của $n$ trong phân tích thừa số nguyên tố

không liên quan nhưng bài mình ấn tượng nhất khi sử dụng kí hiệu này là

$\begin{array}{|c|}\hline \boxed{\text{Problem}}\ \text{Cho số nguyên dương}\ m\ \text{mà}\ (m,n)=1.\text{Tìm}\ \left ( x,y,n \right )\ \text{sao cho}\\ (x^2+y^2)^m=(xy)^n \\ \hline\end{array}$

Bài toán bạn nói nhìn thú vị thật, đây lời giải của mình:
Nhận xét: Nếu $m \ge n$ thì $(x^{2} + y^{2})^{m} \ge 2^{m}.(xy)^{m} \ge (xy)^{n}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m = n = 0$. Vô lí.
Xét $m < n$, đặt $d = \text{gcd}(x, y)$ và $\begin{cases} x = du \\ y = dv \end{cases}$ với $\text{gcd}(u, v) = 1$
Do đó $(u^{2} + v^{2})^{m} = d^{2m - 2n}.(uv)^{n}$
Dễ thấy $v^{2m} \vdots u$, do $\text{gcd}(u, v) = 1$ nên $v \vdots u$. Tương tự, ta cũng có $u \vdots v$. Tóm lại, $u = v = 1$.
Thế vào có $x = y = 2^{t}$ hay $2^{m(2t + 1)} = 2^{2nt} \implies m(2t + 1) = 2nt$

$\implies \frac{n}{m} = 1 + \frac{1}{2t} \implies t = \frac{m}{2(n - m)} = t$.
Nếu $m$ lẻ thì không tồn tại $n$.
Nếu $m$ chẵn, đặt $n - m = L$. Có $m \vdots L$, vậy $n + (n - m) = n \vdots L$. Do $\text{gcd}(m, n) = 1$ nên $L = \pm 1$. Nghĩa là $n = m \pm 1$, do $n > m$ nên $n = m + 1$ và $m = 2t$

Kết luận, $m$ lẻ không có nghiệm, $m$ chẵn thì $(x, y, n) = (2^{t}, 2^{t}, 2t + 1)$ với $m = 2t$
P.S: Viết vội nên hơi lủng củng, xin lỗi các bạn 

Edited by Ego, 09-03-2016 - 19:47.

[I Love MC]

Bài toán bạn nói nhìn thú vị thật, đây lời giải của mình:
Nhận xét: Nếu $m \ge n$ thì $(x^{2} + y^{2})^{m} \ge 2^{m}.(xy)^{m} \ge (xy)^{n}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $m = n = 0$. Vô lí.
Xét $m < n$, đặt $d = \text{gcd}(x, y)$ và $\begin{cases} x = du \\ y = dv \end{cases}$ với $\text{gcd}(u, v) = 1$
Do đó $(u^{2} + v^{2})^{m} = d^{2m - 2n}.(uv)^{n}$
Dễ thấy $v^{2m} \vdots u$, do $\text{gcd}(u, v) = 1$ nên $v \vdots u$. Tương tự, ta cũng có $u \vdots v$. Tóm lại, $u = v = 1$.
Thế vào có $x = y = 2^{t}$ hay $2^{m(2t + 1)} = 2^{2nt} \implies m(2t + 1) = 2nt$

$\implies \frac{n}{m} = 1 + \frac{1}{2t} \implies t = \frac{m}{2(n - m)} = t$.
Nếu $m$ lẻ thì không tồn tại $n$.
Nếu $m$ chẵn, đặt $n - m = L$. Có $m \vdots L$, vậy $n + (n - m) = n \vdots L$. Do $\text{gcd}(m, n) = 1$ nên $L = \pm 1$. Nghĩa là $n = m \pm 1$, do $n > m$ nên $n = m + 1$ và $m = 2t$

Kết luận, $m$ lẻ không có nghiệm, $m$ chẵn thì $(x, y, n) = (2^{t}, 2^{t}, 2t + 1)$ với $m = 2t$
P.S: Viết vội nên hơi lủng củng, xin lỗi các bạn 

Cám ơn anh,lời giải đẹp . Cái dòng đỏ thì em nghĩ nên thay biểu thức khác để dễ hiểu hơn