Đóng góp topicBài 4,Cho tam giác $ABC$ nhọn,đường cao $AH$.Chứng minh$a,AH=\frac{BC}{cotgB+cotgC}$$b,cotgA+cotgB+cotgC=\frac{AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}}{4S}$ (S:diện tích tam giác ABC)c,G là giao điểm ba đường cao $AH,BD,CE$.Chứng minh:$\frac{SGBC}{tanA}=\frac{SGAC}{tanB}=\frac{SGAB}{tanC}$$d,cotgA+cotgB+cotgC\geq \sqrt{3}$$e,Sin\frac{A}{2}Sin\frac{B}{2}Sin\frac{C}{2}\leq \frac{1}{8}$$f,cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}$P/S:Chúc topic phát triển
4. a) $\frac{BC}{cotgB+cotgC}=\frac{BC}{\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}}=\frac{BC}{\frac{BC}{AH}}=AH(đpcm)$
b)Ta có $BC=AB.cosB+AC.cosC\Rightarrow BC^{2}=AB.BC.cosB+AC.BC.cosC$
Tương tự
$\left\{\begin{matrix} AB^{2}=AB.BC.cosB+AC.AB.cosA & \\ AC^{2}=CA.AB.cosA+AC.BC.cosC & \end{matrix}\right.\Rightarrow AB^{2}+AC^{2}=AC.BC.cosC+AB.BC.cosB+2.AC.AB.cosA\Rightarrow AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}=2AC.BC.cosA\Rightarrow cosA=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AC.BC}$
Áp dụng cm trên ta có
$\frac{cosA}{sinA}=cotgA=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AC.BC.sinA}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{4.\frac{1}{2}.AC.BC.sinA}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{4S}\Rightarrow cotgA+cotgB+cotgC=\frac{AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}}{4S}(đpcm)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 12-09-2015 - 11:30