Chủ đề này có 1 trả lời

[anticp2015]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2011}$

Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

 

[Hoang Long Le]

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2011}$

Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

 Áp dụng AM-GM : $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \sum \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$

 Đặt $\sqrt{b^2+c^2}=x;\sqrt{c^2+a^2}=y;\sqrt{a^2+b^2}=z$ thì $a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2};b^2=\frac{x^2+z^2-y^2}{2};c^2=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}$ và $x+y+z=\sqrt{2011}$

 $\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\sum \frac{y^2+z^2-x^2}{x^2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ \sum \left (\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+2x\right )-3.\sum x\right ]$

 $\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left \{ \sum \left [\frac{(y+z)^2}{2x}+2x\right ]-3.\sum x \right \}$

 $\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}.\left [2\sum (y+z)-3\sum x \right ]$ 

 $=\frac{1}{2\sqrt{2}}.\sum x=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 31-08-2015 - 21:05