a,b,c>0 thỏa mãn:$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR
$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
a,b,c>0 thỏa mãn:$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR
$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
A naughty girl
a,b,c>0 thỏa mãn:$a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR
$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^{2}}\leq \frac{3}{16}$
$P=\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2}=\sum \frac{1}{[(a+b)+(a+c)]^2}\leq \sum \frac{1}{4(a+b)(a+c)}=\frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{a+b+c}{2.\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{9}{16(ab+bc+ca)}$
(vì ta có bđt quen thuộc $(a+b)(b+c)(c+a) \geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Do $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Rightarrow ab+bc+ca=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}$
$\Rightarrow ab+bc+ac\geq 3\Rightarrow P\leq \frac{9}{16.3}=\frac{3}{16}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Chứng minh BĐT $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ kiểu gì ạ?
A naughty girl
Chứng minh BĐT $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$ kiểu gì ạ?
Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
(Theo AM-GM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 01-09-2015 - 00:23
cai nay la cai j vay a, e chua hoc $\sum$
cai nay la cai j vay a, e chua hoc $\sum$
Đấy là kí hiệu tổng hoán vị
VD $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$ thì viết thành $\sum \frac{a}{b+c}$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh