Chủ đề này có 7 trả lời

[30 minutes]

Cho a,b,c > 0. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} \geqslant \frac{3}{8}$

[rainbow99]

Cho a,b,c > 0. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} \geqslant \frac{3}{8}$

Ta có:$3(\sum \frac{a^3}{(a+b)^3})^2\geq (\sum \frac{a^2}{(a+b)^2})^3$ (BĐT Holder)

Cần chứng minh:$\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}$

Giờ đặt:$x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$ thì $xyz=1$

BĐT viết lại thành:

$A=\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$

Lại có:$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$ (BĐT rất quen thuộc, chứng minh bằng BĐTĐ)

Do đó:$A\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 02-09-2015 - 21:36

[30 minutes]

Từ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}$

                                            $\Leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}$

                                            $\Leftrightarrow \left ( \frac{2}{a+b} \right )^{3}\geq \frac{2}{a^{3}+b^{3}}$

                                            $\Leftrightarrow \left ( \frac{2c}{b+a} \right )^{3}\geq \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}$

CMTT ta có: $\sum \left ( \frac{2c}{a+b} \right )^{3}\geq \sum \frac{2c^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq 2.\frac{3}{2}=3$ (theo BĐT Nesbit)

$\Leftrightarrow Q.E.D$

Nhầm rồi chị ạ!

 

Cho a,b,c > 0. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} \geqslant \frac{3}{8}$

Đề bài cho là $(\frac{a}{a+b})^{3}$ mà chị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 30 minutes: 02-09-2015 - 21:36

[30 minutes]

Ta có:$3(\sum \frac{a^3}{(a+b)^3})^2\geq (\sum \frac{a^2}{(a+b)^2})^3$ (BĐT Holder)

Cần chứng minh:$\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}$

Giờ đặt:$x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$ thì $xyz=1$

BĐT viết lại thành:

$A=\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$

Lại có:$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$ (BĐT rất quen thuộc, chứng minh bằng BĐTĐ)

Do đó:$A\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

BĐT được chứng minh 

Lần này đúng chị à

Thank chị         

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c > 0. CMR:

$(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} \geqslant \frac{3}{8}$

Áp dụng BĐT $Holder$ ta có:$3\left ( \sum \frac{a^3}{(a+b)^3} \right )^2\geq \left ( \sum \frac{a^2}{(a+b)^2} \right )^3$

 

Cần Chứng minh:$\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3}{4}$

 

Đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}\Rightarrow xyz=1$

 

BĐT trở thành:$A=\sum \frac{1}{(1+x)^2}\geq \frac{3}{4}$

 

Lại có:$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geq \frac{1}{1+xy}$ (Chứng minh bằng tương đương)

 

$A\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^2}=\frac{(z-1)^2}{4(z+1)^2}+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

 

BĐT được chứng minh

[Nguyenhuyen_AG]

Bất đẳng thức mạnh hơn sau đây vẫn đúng

 

\[\left(\frac{a}{a+b}\right)^3+\left(\frac{b}{b+c}\right)^3+\left(\frac{c}{c+a}\right)^3 \geqslant \frac{3}{8} \sqrt{\left[1 + \frac{1}{3}\cdot\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}\right]^3}.\]

[Nguyenhuyen_AG]

Có một bạn hỏi nên anh gợi ý chứng minh bài này.

 

Theo bất đẳng thức trung bình lũy thừa ta có

\[\sqrt[3]{\frac{\sum\left(\frac{a}{a+b}\right)^3}{3}} \geqslant \sqrt{\frac{\sum\left(\frac{a}{a+b}\right )^2}{3}}.\]

Do đó ta quy bài toán về chứng minh

\[\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2 \geqslant \frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}.\]

Còn vì sao anh lại làm chặt bài toán lên thành như vậy ?

 

Có rất nhiều cách chứng minh \[\sum\left(\frac{a}{a+b}\right)^3 \geqslant \frac{3}{8},\] và một trong số đó là dùng bất đẳng thức trung bình lũy thừa (hoặc AM-GM, Holder) để đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn \[\sum\left(\frac{a}{a+b}\right)^2 \geqslant \frac{3}{4}.\] Đây là một bất đẳng thức quen thuộc, có nhiều lời giải. Có điều anh thấy nó vẫn chưa chặt lắm vì nó chỉ có một đẳng thức $a=b=c,$ (điều ngược lại không hẳn đã đúng nhé có rất nhiều bất đẳng thức chỉ có một dấu bằng $a=b=c$ nhưng lại là những bất đẳng thức rất chặt) nên anh đặt vấn đề sẽ tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức \[\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\left(\frac{c}{c+a}\right)^2 \geqslant \frac{3}{4} + \frac{k(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2},\quad (1)\] luôn đúng và đẳng thức xảy ra tại hai điểm $a=b=c$ hoặc $a=b,\,c=0$ vì bài này ta có thể đổi điều kiện $a,\,b,\,c$ dương thành $a,\,b,\,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ca>0$ để có thể có một số bằng $0.$ Anh chọn $k=\frac{1}{4}$ vì sau khi quy đồng bất đẳng thức $(1)$ sẽ trở thành bất đẳng thức AM-GM nhưng nó vẫn chưa phải số anh cần tìm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 03-09-2015 - 21:21

[longatk08]

Em đã thử dùng BĐT phụ:

 

$\sum \frac{a^3}{(a+b)^3}+\frac{5abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 1$ để chuyển về đối xứng nhưng vì bậc to quá nên em vẫn chưa kiểm tra được tính đúng sai của nó 

Bài toán trên của anh vì có 1 điểm rơi duy nhất nên có lẽ không quá khó nếu dùng 1 phép khai triển.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 03-09-2015 - 21:36