Chủ đề này có 2 trả lời

[phamhuy1801]

$1,$ Bình phương các số $1;2;3;...;1982$ rồi viết chúng liền theo một thứ tự bất kì. Có được một số có nhiều chữ số là số chính phương không?

$2,$ Tồn tại hay không số tự nhiên $A$ mà khi viết thêm chính nó vào bên phải ta được một số chính phương?

$3, $ Số tự nhiên $N$ là một số chính phương và không có tận cùng là chữ số $0$. Sau khi xóa $2$ chữ số cuối cùng của nó ta lại được một số chính phương. Tìm số $N$ lớn nhất có tính chất trên. 

[Min Nq]

2)Đầu tiên là $0$ thoả mãn( nếu chấp nhận số $00$)

Xét những số nguyên dương:

giả sử tồn tại $A$ thoả đề bài, $A$ có n chữ số, khi đó viết thêm A vào bên phải A thì số mới phải chia hết cho $N=100...01$(n-1 số 0) và vì số mới này chính phương nên phải có nhân tử $N^{2}=100...0200...01$(2n-2 số 0) tổng cộng có 2n+1 chữ số(hư cấu vì số tự nhiên (AA) chỉ có 2n chữ số).

Suy ra điều giả sử sai suy ra không có số nguyên dương A thoả đề bài.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Min Nq: 05-09-2015 - 18:16

[Chris yang]

1. Ý tưởng là sử dụng đồng dư $\mod 9$.  G/s số tạo thành ($N$) có khả năng là 1 số chính phương . Gọi $S(N)$ là tổng các chữ số của $N$. Dễ thấy rằng $S(N)\equiv 1^2+2^2+...1982^2=\frac{1982.1983(2.1982+1)}{6}\equiv 2$ (mod $9$) nên $N\equiv 2(\mod 9)$

Kiểm tra một số chính phương chia $9$ không dư $2$ nên ta không lập đc số thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngocanh99: 07-09-2015 - 16:59