Chủ đề này có 2 trả lời

[Phuonganh2205]

a,b,c>0,$ab+bc+ca\leq 1$.CMR:

a,$\sqrt{bc}\geq \frac{4abc}{a^{2}+1}$

b,$a+b+c+\sqrt{3}\geq 8abc(\sum \frac{1}{a^{2}+1})$

[hoctrocuaHolmes]

a,b,c>0,$ab+bc+ca\leq 1$.CMR:

a,$\sqrt{bc}\geq \frac{4abc}{a^{2}+1}$

b,$a+b+c+\sqrt{3}\geq 8abc(\sum \frac{1}{a^{2}+1})$

a)Áp dụng giả thiết và AM-GM ta có

$\frac{4abc}{a^{2}+1}\leq \frac{4abc}{a^{2}+ab+bc+ca}=\frac{4abc}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{4abc}{2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}}=\sqrt{bc}(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

b)Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có

$VP\leq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Ta cần cm $a+b+c+\sqrt{3}\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Ta có bất đẳng thức phụ sau $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Cm:$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca+2\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\Leftrightarrow \sum a^{2}+\sum ab\geq 2\sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ab}+2\sqrt{ca.cb}$

Đặt $\sqrt{ab}=x;\sqrt{bc}=y;\sqrt{ca}=z\Rightarrow VT\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Quay lại bài toán ta có

$a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ nên cần cm $\sqrt{3}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\Leftrightarrow 3\geq ab+bc+ca+2\sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ac}+2\sqrt{ab.bc}\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ac}+2\sqrt{ab.bc}\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ac}+2\sqrt{ab.bc}$

Đặt $\sqrt{ab}=x;\sqrt{bc}=y;\sqrt{ca}=z\Rightarrow VT\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức ban đầu đã được cm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

[CaptainCuong]

a)Áp dụng giả thiết và AM-GM ta có

$\frac{4abc}{a^{2}+1}\leq \frac{4abc}{a^{2}+ab+bc+ca}=\frac{4abc}{(a+b)(a+c)}\leq \frac{4abc}{2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}}=\sqrt{bc}(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

b)Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có

$VP\leq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Ta cần cm $a+b+c+\sqrt{3}\geq 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Ta có bất đẳng thức phụ sau $a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Cm:$\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca+2\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\Leftrightarrow \sum a^{2}+\sum ab\geq 2\sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ab}+2\sqrt{ca.cb}$

Đặt $\sqrt{ab}=x;\sqrt{bc}=y;\sqrt{ca}=z\Rightarrow VT\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Quay lại bài toán ta có

$a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$ nên cần cm $\sqrt{3}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$\Leftrightarrow 3\geq ab+bc+ca+2\sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ac}+2\sqrt{ab.bc}\Leftrightarrow 1\geq \sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ac}+2\sqrt{ab.bc}\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{ab.ac}+2\sqrt{bc.ac}+2\sqrt{ab.bc}$

Đặt $\sqrt{ab}=x;\sqrt{bc}=y;\sqrt{ca}=z\Rightarrow VT\geq 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức ban đầu đã được cm

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Chỗ màu đỏ mình có cách này nhanh hơn 1 tí. Mình nghĩ áp dụng BĐT $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+xz$ với $x=\sqrt{a}; y=\sqrt{b}; z=\sqrt{c}\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$.

Chỗ màu xanh hiển nhiên xảy ra vì $ab+bc+ca\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CaptainCuong: 07-09-2015 - 20:40