Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$a^3+b^3+c^3+9 \geq 4(ab+bc+ac)$
Spoiler
#2
Đã gửi 11-09-2015 - 20:36
tunglamlqddb
-
- Thành viên
-
- 148 Bài viết
Trung sĩ
Chuyển theo p, q, r, bđt tương đương với p³-3pq-4q+12≥0
Theo schur thì p³≥4pq-9r=4pq-9
Do đó ta cần cm: pq-4q+3≥0
Đặt f(q)=(p-4)q+3
Nếu p≥4 thì hiển nhiên có đpcm
Nếu p<4 thì hàm f(q) nghịch biến nên f(q)≥f(p²/3)
Thay vào biến dổi tương đương đc p≥3 ( luôn đúng vì abc=1)
Ta hoàn tất bài toán với dấu bằng tại a=b=c=1
Theo schur thì p³≥4pq-9r=4pq-9
Do đó ta cần cm: pq-4q+3≥0
Đặt f(q)=(p-4)q+3
Nếu p≥4 thì hiển nhiên có đpcm
Nếu p<4 thì hàm f(q) nghịch biến nên f(q)≥f(p²/3)
Thay vào biến dổi tương đương đc p≥3 ( luôn đúng vì abc=1)
Ta hoàn tất bài toán với dấu bằng tại a=b=c=1
#3
Đã gửi 11-09-2015 - 20:47
tunglamlqddb
-
- Thành viên
-
- 148 Bài viết
Trung sĩ
Nếu dùng dồn biến cũng đc nhỉ?
Dồn về căn (bc) với c≥b≥a
Trên đây là 2 cách của mình, ko biết có đúng ko, với lại mình vẫn chưa nghĩ ra dùng AM-GM như nào ( cho nó cổ điển chút!) bạn cho mình lời giải của bạn nhé!
Nice problem!
Dồn về căn (bc) với c≥b≥a
Trên đây là 2 cách của mình, ko biết có đúng ko, với lại mình vẫn chưa nghĩ ra dùng AM-GM như nào ( cho nó cổ điển chút!) bạn cho mình lời giải của bạn nhé!
Nice problem!
#4
Đã gửi 11-09-2015 - 23:00
longatk08
-
- Thành viên
-
- 350 Bài viết
Sĩ quan
Nếu dùng dồn biến cũng đc nhỉ?
Dồn về căn (bc) với c≥b≥a
Trên đây là 2 cách của mình, ko biết có đúng ko, với lại mình vẫn chưa nghĩ ra dùng AM-GM như nào ( cho nó cổ điển chút!) bạn cho mình lời giải của bạn nhé!
Nice problem!
Gợi ý: $x^3+y^3+z^3 +3xyz \geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$
- tunglamlqddb yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
