Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 11-09-2015 - 21:00
$\sum\frac{a^{3}}{a^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$
#1
Đã gửi 11-09-2015 - 20:56
- CaptainCuong yêu thích
#2
Đã gửi 11-09-2015 - 22:07
Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$Chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}+\frac{b^{3}}{b^{2}+1}+\frac{c^{3}}{c^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$
Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$
Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)
Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$
- Supermath98, hoangson2598, quan1234 và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 11-09-2015 - 22:14
Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$
Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)
Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$
Nghĩ thế nào mà ra được cái (1) thế bạn, chỉ cho mk với!!
Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.
Albert Einstein
My Facebook: https://www.facebook...100009463246438
#4
Đã gửi 11-09-2015 - 22:27
Nghĩ thế nào mà ra được cái (1) thế bạn, chỉ cho mk với!!
Dùng phương pháp tiếp tuyến đó bạn.
File gửi kèm
- hoangson2598 yêu thích
#5
Đã gửi 11-09-2015 - 22:28
Bạn sử dụng UTC àTa chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$
Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)
Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$
#6
Đã gửi 12-09-2015 - 10:37
Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$Chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}+\frac{b^{3}}{b^{2}+1}+\frac{c^{3}}{c^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$
Cách 2:
$\Leftrightarrow \sum \frac{a(a^{2}+1)-a}{a^{2}+1}\geq \frac{1}{10}\Leftrightarrow a+b+c-\sum \frac{a}{a^{2}+1}\geq \frac{1}{10}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$
Đến đây ta có thể dùng phương pháp UCT để chứng minh $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ rồi cộng vế với vế ta có đpcm
Hoặc áp dụng AM-GM ta có $a^{2}+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}a\Rightarrow a^{2}+1\geq \frac{2}{3}a+\frac{8}{9}\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{9a}{6a+8}$
Ta cần cm
$\sum \frac{9a}{6a+8}\leq \frac{9}{10}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{3a+4}\leq \frac{1}{5}\Leftrightarrow\sum (\frac{1}{3}-\frac{a}{3a+4})\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow \sum \frac{4}{3(3a+4)}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow\sum \frac{1}{3a+4}\geq\frac{3}{5}$
Thật vậy áp dụng Cauchy-Schwarz ta có
$\sum \frac{1}{3a+4}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+12}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}(đpcm)$
Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
- royal1534 yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh