Chủ đề này có 5 trả lời

[royal1534]

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$

Chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}+\frac{b^{3}}{b^{2}+1}+\frac{c^{3}}{c^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 11-09-2015 - 21:00

[duaconcuachua98]

 

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$

Chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}+\frac{b^{3}}{b^{2}+1}+\frac{c^{3}}{c^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$

 

Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$

Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)

Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$

[hoangson2598]

Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$

Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)

Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$

Nghĩ thế nào mà ra được cái (1) thế bạn, chỉ cho mk với!!

[Supermath98]

Nghĩ thế nào mà ra được cái (1) thế bạn, chỉ cho mk với!!

Dùng phương pháp tiếp tuyến đó bạn. 

File gửi kèm

•  chuyendetieptuyentrongviecchungminhbatdangthuc.pdf   644.37K   8949 Số lần tải

[quan1234]

Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$
Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)
Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$

Bạn sử dụng UTC à

[hoctrocuaHolmes]

 

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$

Chứng minh $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}+\frac{b^{3}}{b^{2}+1}+\frac{c^{3}}{c^{2}+1} \geq \frac{1}{10}$

 

Cách 2:

$\Leftrightarrow \sum \frac{a(a^{2}+1)-a}{a^{2}+1}\geq \frac{1}{10}\Leftrightarrow a+b+c-\sum \frac{a}{a^{2}+1}\geq \frac{1}{10}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$

Đến đây ta có thể dùng phương pháp UCT để chứng minh $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ rồi cộng vế với vế ta có đpcm

Hoặc áp dụng AM-GM ta có $a^{2}+\frac{1}{9}\geq \frac{2}{3}a\Rightarrow a^{2}+1\geq \frac{2}{3}a+\frac{8}{9}\Rightarrow \sum \frac{a}{a^{2}+1}\leq \sum \frac{9a}{6a+8}$

Ta cần cm 

$\sum \frac{9a}{6a+8}\leq \frac{9}{10}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{3a+4}\leq \frac{1}{5}\Leftrightarrow\sum (\frac{1}{3}-\frac{a}{3a+4})\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow \sum \frac{4}{3(3a+4)}\geq \frac{4}{5}\Leftrightarrow\sum \frac{1}{3a+4}\geq\frac{3}{5}$

Thật vậy áp dụng Cauchy-Schwarz ta có 

$\sum \frac{1}{3a+4}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+12}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}(đpcm)$

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$