Chủ đề này có 1 trả lời

[Rias Gremory]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương . Chứng minh : 

$\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b+c+d}}>2$

[hoctrocuaHolmes]

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương . Chứng minh : 

$\sum \sqrt[3]{\frac{a}{b+c+d}}>2$

Đặt $\sqrt[3]{a}=\sqrt{x};\sqrt[3]{b}=\sqrt{y};\sqrt[3]{c}=\sqrt{z};\sqrt[3]{d}=\sqrt{t}$

Ta đi cm 

$\sqrt[3]{\frac{a}{b+c+d}}\geq\sqrt{\frac{x}{y+z+t}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{(b+c+d)^{2}}\geq \frac{x^{3}}{(y+z+t)^{3}}\Leftrightarrow (x+y+z)^{3}\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow \sum y^{3}+\sum 3yz(z+y)+6yzt\geq \sum b^{2}+2(bc+cd+db)\Leftrightarrow \sum 3yz(z+y)+6yzt\geq 2(bc+cd+db)$

(do $a^2=m^3$ và $y^3+z^3+t^3 =d^2+b^2+c^2$ theo cách đặt)

Áp dụng AM-GM ta có $3yz(y+z)\geq 6yz\sqrt{yz}=6\sqrt{b^{2}c^{2}}=6bc> 2bc\Rightarrow \sum 3yz(y+z)+6yzt> 2(bc+cd+db)\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a}{b+c+d}}>\sum \sqrt{\frac{x}{y+z+t}}$

Cần cm $\sum \sqrt{\frac{x}{y+z+t}}> 2$

Thật vậy 

$\sqrt{\frac{y+z+t}{x}}\leq \frac{\frac{y+z+t}{x}+1}{2}=\frac{x+y+z+t}{2x}$

$\sqrt{\frac{x}{y+z+t}}\geq \frac{2x}{x+y+z+t}\Leftrightarrow \sum\sqrt{\frac{x}{y+z+t}}\geq 2$

Do dấu ''='' không xảy ra nên $\sum \sqrt{\frac{x}{y+z+t}}> 2$

Vậy ta có đpcm