Chủ đề này có 2 trả lời

[phamhuy1801]

$1$, Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Tính giá trị biểu thức sau:

$$B=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$$

 

$2$, Tìm số thực $x$ sao cho $x+\sqrt{15}$ và $\dfrac{1}{x}-\sqrt{15}$ đều là các số nguyên.

 

$3,$ Cho hai thùng đựng nước với dung tích lớn tùy ý và hai cái ca có dung tích lần lượt là $\sqrt{2}$ lít và $2-\sqrt{2}$ lít. Chứng minh không thể dùng hai ca đó để chuyển $1$ lít nước từ thùng này sang thùng kia. (Mỗi lần phải chuyển đầy ca).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 13-09-2015 - 17:07

[Rias Gremory]

$2$, Tìm số thực $x$ sao cho $x+\sqrt{15}$ và $\dfrac{1}{x}-\sqrt{15}$ đều là các số nguyên.

Bổ đề : $m,n$ là hai số hữu tỉ dương . Khi đó $\sqrt{m}+\sqrt{n}$ là số hữu tỉ khi và chỉ khi $\sqrt{m},\sqrt{n}$ đều là số hữu tỉ 

Ta có : $x+\sqrt{15},\frac{1}{x}-\sqrt{15}$ đều là số nguyên nên $k=x+\frac{1}{x}$ là số nguyên 

$\Leftrightarrow x^2-kx+1=0,\Delta =k^2-4$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{k+\sqrt{k^2-4}}{2} \\ x=\frac{k-\sqrt{k^2-4}}{2} \end{matrix}\right.$

$\bullet x=\frac{k+\sqrt{k^2-4}}{2}$

Ta có : $x+\sqrt{15}=\frac{k}{2}+\frac{\sqrt{k^2-4}+2\sqrt{15}}{2}$ là số hữu tỉ 

$\Rightarrow \sqrt{k^2-4}+2\sqrt{15}$ là số hữu tỉ . Từ bổ đề suy ra $2\sqrt{15}$ là số hữu tỉ ( Vô lý )

$\bullet x=\frac{k-\sqrt{k^2-4}}{2}$

Ta có $x+\sqrt{15}=\frac{k}{2}+\frac{2\sqrt{15}-\sqrt{k^2-4}}{2}\Rightarrow 2\sqrt{15}-\sqrt{k^2-4}$ là số hữu tỉ

$\Rightarrow (2\sqrt{15}-\sqrt{k^2-4})^2$ là số hữu tỉ . $\Rightarrow \sqrt{60(k^2-4)}$ là số hữu tỉ

Xét đa thức : $f(x)=(x-2\sqrt{15})(x+\sqrt{k^2-4})=x^2+(\sqrt{k^2-4}-2\sqrt{15})x-\sqrt{60(k^2-4)}$

$0=f(2\sqrt{15})=60+(\sqrt{k^2-4}-2\sqrt{15}).2\sqrt{15}-\sqrt{60(k^2-4)}$ là số hữu tỉ

$\Rightarrow (\sqrt{k^2-4}-2\sqrt{15}).2\sqrt{15}$ là số hữu tỉ

Mà $2\sqrt{15}$ là số vô tỉ nên $\sqrt{k^2-4}=2\sqrt{15}\Rightarrow k^2-4=60\Leftrightarrow k=\pm 8$

Suy ra $x=-\sqrt{15}\pm 4$

[hoctrocuaHolmes]

 

$1$, Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c+\sqrt{abc}=4$. Tính giá trị biểu thức sau:

$$B=\sqrt{a(4-b)(4-c)}+\sqrt{b(4-c)(4-a)}+\sqrt{c(4-a)(4-b)}-\sqrt{abc}$$

 

$2$, Tìm số thực $x$ sao cho $x+\sqrt{15}$ và $\dfrac{1}{x}-\sqrt{15}$ đều là các số nguyên.

1. Từ giả thiết suy ra 

$4(a+b+c)+4\sqrt{abc}=16\Rightarrow 16-4b-4c=4\sqrt{abc}+4a\Rightarrow \sqrt{a(4-b)(4-c)}=\sqrt{a(16-4b-4c+bc)}=\sqrt{a(4a+4\sqrt{abc}+bc)}=\sqrt{(2a+\sqrt{abc})^{2}}=2a+\sqrt{abc}\Rightarrow \sum \sqrt{a(4-b)(4-c)}=2(a+b+c)+3\sqrt{abc}-\sqrt{abc}=2(a+b+c+\sqrt{abc})=2.4=8$

 

Bổ đề : $m,n$ là hai số hữu tỉ dương . Khi đó $\sqrt{m}+\sqrt{n}$ là số hữu tỉ khi và chỉ khi $\sqrt{m},\sqrt{n}$ đều là số hữu tỉ 

Cách anh hơi bị ''trâu'' đấy ạ 

Còn đây là cách của em 

2. Đặt $x+\sqrt{15}=a\Rightarrow x=a-\sqrt{15}\Rightarrow \frac{1}{x}-\sqrt{15}=\frac{1}{a-\sqrt{15}}-\sqrt{15}=b(a,b\epsilon Z)\Rightarrow 1-a\sqrt{15}+15=ab-b\sqrt{15}\Leftrightarrow 16-ab=(a-b)\sqrt{15}$

Nếu $a$ khác $b$ thì $\sqrt{15}=\frac{16-ab}{a-b}(VL)$ (vì $\sqrt{15}$ là số vô tỉ còn $\frac{16-ab}{a-b}$ là số hữu tỉ)

Do đó $a=b$ suy ra $16-ab=0 \Leftrightarrow ab=16 \Leftrightarrow a=b=4$ hoặc $a=b=-4$ hay ta tìm được

$x\epsilon (\pm 4-\sqrt{15})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 13-09-2015 - 21:34