Chủ đề này có 4 trả lời

[aeyeushovelrd]

Cho x,y,z,t $\geqslant$ 0 và $x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 2005$

C/m: $\frac{x}{2005\sqrt{2005}+yzt} + \frac{y}{2005\sqrt{2005}+xzt} + \frac{z}{2005\sqrt{2005}+xyt} + \frac{t}{2005\sqrt{2005}+xyz} \geq \frac{1}{2005}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi aeyeushovelrd: 14-09-2015 - 20:45

[mam1101]

Cho x,y,z,t $\geqslant$ 0 và $x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 2005$

C/m: $\frac{x}{2005\sqrt{2005}+yzt} + \frac{y}{2005\sqrt{2005}+xzt} + \frac{z}{2005\sqrt{2005}+xyt} + \frac{t}{2005\sqrt{2005}+xyz} \geq \frac{1}{2005}$

Xem lại giùm cái đề bạn ơi

[aeyeushovelrd]

Xem lại giùm cái đề bạn ơi

 

đề có vấn đề gì bạn ?

[mam1101]

đề có vấn đề gì bạn ?

Lúc đo LATEX bị đơ thông cảm :v

[LeHKhai]

Cho x,y,z,t $\geqslant$ 0 và $x^{2} + y^{2} + z^{2} + t^{2} = 2005$

C/m: $\frac{x}{2005\sqrt{2005}+yzt} + \frac{y}{2005\sqrt{2005}+xzt} + \frac{z}{2005\sqrt{2005}+xyt} + \frac{t}{2005\sqrt{2005}+xyz} \geq \frac{1}{2005}$

Đặt $a=\frac{x}{\sqrt{2005}}$, $b=\frac{y}{\sqrt{2005}}$, $c=\frac{z}{\sqrt{2005}}$, $d=\frac{t}{\sqrt{2005}}$.

Ta có $a,b,c,d\geq 0\wedge a^2+b^2+c^2+d^2=1$ (1).

$A=\frac{x}{2005\sqrt{2005}+yzt}+\frac{y}{2005\sqrt{2005}+ztx}+\frac{z}{2005\sqrt{2005}+txy}+\frac{t}{2005\sqrt{2005}+xyz}=\frac{1}{2005}\left ( \frac{a}{1+bcd}+\frac{b}{1+acd}+\frac{c}{1+abd}+\frac{d}{1+abc} \right )$

$A\geq \frac{1}{2005}.\frac{\left ( a+b+c+d \right )^2}{a\left ( 1+bcd \right )+b\left ( 1+acd \right )+c\left ( 1+abd \right )+d\left ( 1+abc \right )}=\frac{1+2\left ( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right )}{2005 \left(a+b+c+d+4abcd \right)}$

Do đó cần chứng minh $\frac{1+2\left ( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right )}{a+b+c+d+4abcd}\geq 1 \Leftrightarrow 1+2\left ( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right )\geq a+b+c+d+4abcd$.

Thật vậy, (1) $\Rightarrow a,b,c,d\in [0,1]$

Ta có $VT-VP=\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\left ( 1-d \right )+\left ( ab+ac+ad+bc+bd+cd \right )+\left ( abc+abd+acd+bcd \right )-5abcd\geq ab+ac+ad+bc+bd+cd-5abcd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}-5abcd=5\sqrt{abcd}\left ( 1-\sqrt{abcd} \right )+\sqrt{abcd}\geq 0$.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c,d)=(0,0,0,1)$ và các hoán vị $\Leftrightarrow (x,y,z,t)=(0,0,0,\sqrt{2005})$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 15-09-2015 - 20:16