Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ lẻ sao cho với mọi số nguyên lẻ $a$ nếu $a^2 \leqslant n$ thì
$a \mid n$
Lời giải. Đặt $\left \lfloor n \right \rfloor =a \ge 1$ thì $a^2 \le n < (a+1)^2$. Ta xét hai trường hợp:
TH1. Nếu $2|a$ thì $a-1|n, a-3|n$ và $\gcd (a-1,a-3)=1$ nên $(a-1)(a-3)|n$. Vì $n \ge a^2$ nên ta suy ra $n\ge 3(a-1)(a-3)$ hay $n\ge 3(a^2-4a+3)$ suy ra $3(a^2-4a+3)<(a+1)^2$ suy ra $2a^2-14a+8 <0$. Ta tìm được $1 \le a \le 6$, kết hợp với điều kiện $2|a$ thì $a \in \{ 2,4,6 \}$.
Nếu $a=2$ thì $4 \le n< 9$. Để ý $2 \nmid n$. Ta tìm được $n \in \{ 5,7 \}$.
Nếu $a=4$ thì $16 \le n< 25$. Để ý rằng $a-1|n$ tức $3|n$ và $2 \nmid n$. Ta tìm được $n=21$.
Nếu $a=6$ thì $36 \le n<49$. Để ý rằng $a-1|n,a-3|n$ tức $5|n,3|n$ và $2 \nmid n$. Ta tìm được $n = 45$.
TH2. Nếu $2 \nmid a$ thì $a|n,a-2|n$ và $\gcd (a,a-2)=1$ nên $a(a-2)|n$. Vì $n \ge a^2$ nên ta suy ra $n \ge 3a(a-2)$ hay $n \ge 3(a^2-2a)$ suy ra $3(a^2-2a)<(a+1)^2$ suy ra $2a^2-8a-1<0$. Ta tìm được $0 \le a \le 4$, kết hợp với $2 \nmid a$ thì $a \in \{ 1,3 \}$.
Nếu $a=1$ thì $1 \le n \le 4$. Ta tìm được $n \in \{ 1,3 \}$.
Nếu $a=3$ thì $9 \le n \le 16$. Để ý $a|n$ tức $3|n$. Ta tìm được $n \in \{ 9,15 \}$.
Vậy $\boxed{n \in \{1,3,5,7,9,15,21,45 \}}$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh