Cho $a,b,c>0$.
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b} >4$
$\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b} >4$
Bắt đầu bởi Nguyen Huy Hoang, 19-09-2015 - 20:47
#1
Đã gửi 19-09-2015 - 20:47
Nguyen Huy Hoang
-
- Thành viên
-
- 174 Bài viết
Trung sĩ
BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !
"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"
-Dale Carnegie-
#2
Đã gửi 19-09-2015 - 21:20
Pino
-
- Thành viên
-
- 84 Bài viết
Hạ sĩ
Cho $a,b,c>0$.
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b} > 4$
Ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b}$
$= \frac{a}{b+c}+1+\frac{4b}{c+a}+4+\frac{9c}{a+b}+9-14$
$= (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{4}{c+a}+\frac{9}{a+b})-14$
$\ge (a+b+c)[\underbrace{\frac{(1+2+3)^2}{2(a+b+c)}}_{Cauchy - Schwarz}]-14=18-14=4$
Đẳng thức không xảy ra do đó: ta có đpcm..
- Nguyen Huy Hoang yêu thích
~~ 
$\boxed{\boxed{\bigstar \bigstar\text{PINO}\bigstar \bigstar}}$ ~~
#3
Đã gửi 19-09-2015 - 21:40
quan1234
-
- Thành viên
-
- 257 Bài viết
Thượng sĩ
Cho $a,b,c>0$.
CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{9c}{a+b} >4$
Cách khác, nhận thấy biểu thức có cùng bậc 1 nên đặt $x=b+c,y=c+a,z=a+b$
$VT=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{2(x+z-y)}{y}+\frac{9(x+y-z)}{2z}= (\frac{y}{2x}+\frac{2x}{y})+(\frac{z}{2x}+\frac{9x}{2z})+(\frac{2z}{y}+\frac{9y}{2z})-7\geq 11-7=4$
Dấu bằng không xảy ra
- Nguyen Huy Hoang yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
