Chủ đề này có 5 trả lời

[anhxtanh1879]

Cho $a, b, c \geq 0: a + b + c = 1$. Tìm số $k$ lớn nhất sao cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} + kabc \geq \frac{1}{9} + \frac{k}{27}$ đúng với mọi $a, b, c$ thoả mãn điều kiện trên

[longatk08]

Cho $c=0$ tìm ra $k=\frac{15}{4}$

[phamhuy1801]

Cho $a, b, c \geq 0: a + b + c = 1$. Tìm số $k$ lớn nhất sao cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} + kabc \geq \frac{1}{9} + \frac{k}{27}$ đúng với mọi $a, b, c$ thoả mãn điều kiện trên

 

$a^{3} + b^{3} + c^{3} + kabc \geq \frac{1}{9} + \frac{k}{27}$        (1)

Cho $a=b=\frac{1}{2}, c=0$ ta được $k \leq \frac{15}{4}$

Để k lớn nhất là $\frac{15}{4}$ thỏa (1) cần chứng minh:

$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \ge \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+15abc \ge 1$   (2)

Cần chứng minh bất đẳng thức sau:

$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \le abc$    (3)

-Nếu vế trái của (3) không dương thì (3) luôn đúng.

-Nếu vế trái của (3) dương thì các thừa số $a+b-c; a+c-b; b+c-a$ đều dương. Dùng $Cauchy$:

$(a+b-c)(a+c-b) \le \left (\frac{a+b-c+a+c-b}{2} \right )^2 = a^2$

CMTT, nhân chúng lại được (3).

Từ (3) suy ra: $(1-2a)(1-2b)(1-2c) \le abc$

$\Rightarrow 1-2(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-9abc \le 0$

$\Rightarrow 9abc-4(ab+bc+ca) \ge 1$

Lại có $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=1-3(ab+bc+ca)$

Do đó $4(a^3+b^3+c^3)+15abc = 4(a^3+b^3+c^3-3abc)+27abc=4[1-3(ab+bc+ca)]+27abc=4-3[4(ab+bc+ca)-9abc] \ge 4-3=1$

(2) được chứng minh, $k=\frac{15}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamhuy1801: 23-09-2015 - 22:50

[longatk08]

 

 

-Nếu vế trái của (3) không dương thì (3) luôn đúng.

-Nếu vế trái của (3) dương thì các thừa số $a+b-c; a+c-b; b+c-a$ đều dương. Dùng $Cauchy$:

$(a+b-c)(a+c-b) \le \left (\frac{a+b-c+a+c-b}{2} \right )^2 = a^2$

 

 

Nói thế này không ổn rồi. Ở đây để chứng minh $k=15/4$ thì ta dùng dồn biến bằng hàm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 23-09-2015 - 22:53

[phamhuy1801]

Nói thế này không ổn rồi. Ở đây để chứng minh $k=15/4$ thì ta dùng dồn biến bằng hàm.

 

Các thừa số đó đều dương vì nếu có hai thừa số âm, chẳng hạn $a+b-c < 0$ và $a+c-b < 0$ thì $2a<0$ (vô lý). Khi đó ta được phép áp dụng BĐT Cauchy.

[Nguyenhuyen_AG]

Nếu vế trái của (3) dương thì các thừa số $a+b-c; a+c-b; b+c-a$ đều dương. Dùng Cauchy.

 

Lời giải của em về cơ bản ok, nhưng có đoạn này em lập luận không chính xác. Nếu vế trái của $(3)$ dương thì không thể suy ra các thừa số này dương được vì nếu có hai số âm số còn lại dương thì tích của ba số vẫn là số dương .  Đoạn này em có thể khắc phục như sau :

 

Giả sử $a=\max\{a,\,b,\,c\}$ khi đó ta thấy $a+b-c \geqslant 0$ và $c+a-b \geqslant 0.$ Như vậy

• Nếu $b+c-a \leqslant 0$ thì bất đẳng thức $(3)$ đúng.
• Nếu $b+c-a \geqslant 0$ thì đánh giá bằng AM-GM như của em.

Để chứng minh \[a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geqslant \frac{1}{4},\] cũng không cần dùng hàm. Vì sau khi thuần nhất \[a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc \geqslant \frac{1}{4}(a+b+c)^3,\] khai triển và thu gọn ta sẽ thu được bất đẳng thức Schur bậc ba \[a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant \sum ab(a+b).\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 24-09-2015 - 12:30