Chủ đề này có 1 trả lời

[viet nam in my heart]

Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx+2xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$x^2+y^2+z^2+2 \geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+20x^2y^2z^2$$

[longatk08]

Ta chỉ cần chứng minh BĐT trong trường hợp có 2 số bằng nhau giả sử là $x=y$ thì ta sẽ chứng minh :

 

$2x^2+z^2+2 \geq 4x^4+8x^2z^2+20x^4z^2$

Từ giả thiết ta suy ra $z=\frac{1-x}{2x}$ với $0 \leq x \leq 1$

 

Thay vào và biến đổi tương đương cho ta:

 

$\frac{(1-x)(2x^2+1)(18x^3-2x^2-x+1)}{4x^2} \geq 0$

đúng với mọi $0 \leq x \leq 1$

 

Phép đổi biến $x=\frac{a}{b+c},y=\frac{b}{a+c},z=\frac{c}{b+a}$ cũng cho kết quả.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 26-09-2015 - 15:33